$sin(pi/5)$,$cos(pi/5)$ ricavarlo da sin e cos $(pi/10)$

Messaggioda 93felipe » 05/04/2012, 18:38

problema semplice semplice ma che mi ha bloccato: esprimendo come il doppio di angoli di $pi/10$ devo calcolare il valore esatto di $sin(pi/5)$ e $cos(pi/5)$ allora con la formula si duplicazione scrivo:
$sin(pi/5)=sin2(pi/10)=2(sin(pi/10)cos(pi/10))$
e alla fine ottengo

$sin(pi/5)=((\sqrt(5)-1)(\sqrt(10+2\sqrt(5))))/8$, il valore è esatto però dovrei riuscire a scriverlo come $\sqrt(10-\sqrt(5))/4$

ho provato a semplificarlo con l'identità dei radicali doppi ma non ci riesco, potreste aiutarmi a scriverlo nella forma $\sqrt(10-\sqrt(5))/4$?
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Re: $sin(pi/5)$,$cos(pi/5)$ ricavarlo da sin e cos $(pi/10)$

Messaggioda gabriello47 » 05/04/2012, 19:18

2 osservazioni.
1- E' errato il passaggio con la formula di duplicazione. Non $2sin (pi/10)$ ma $ sin 2(pi/10) $.
2-Eseguendo, semplicemente, la moltiplicazione a numeratore mi viene $(sqrt(10-2sqrt(5)))/4$ .Controlla.
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Re: $sin(pi/5)$,$cos(pi/5)$ ricavarlo da sin e cos $(pi/10)$

Messaggioda 93felipe » 05/04/2012, 19:59

gabriello47 ha scritto:2 osservazioni.
1- E' errato il passaggio con la formula di duplicazione. Non $2sin (pi/10)$ ma $ sin 2(pi/10) $.
2-Eseguendo, semplicemente, la moltiplicazione a numeratore mi viene $(sqrt(10-2sqrt(5)))/4$ .Controlla.


infatti il 2 moltiplica tutta la parentesi, il calcolo è giusto dato che la formula di duplicazione è la seguente

$sin2a=2(sin(a)cos(a))$

inoltre ho controllato con microsoft mathematics i due valori e sono identici
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Re: $sin(pi/5)$,$cos(pi/5)$ ricavarlo da sin e cos $(pi/10)$

Messaggioda Palliit » 06/04/2012, 15:16

Prova a fare il prodotto a numeratore scrivendo \( \displaystyle \sqrt{5}-1 \) in questo modo: \( \displaystyle \sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}}=\sqrt{6-2\sqrt{5}} \) ,

e vedrai che viene come deve venire.
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