ciao a tutti.Ho un problema nello studio di una successione definita per ricorrenza,più che altro non riesco bene a risolverle quando il termine $a_(n+1)$ è una funzione integrale.
Normalmente in una successione studio i $punti fissi$ e la $positività$ della funzione $\phi(t)=f(t)-t$
Per quanto riguarda questa successione:
$\{(a_1=1/2),(a_(n+1)=\int_{0}^{a_n^2} sqrt(cost)dt ):}$
la soluzione procede in questo modo,ovvero si calcola la $\phi(x)$:
$\phi(x)=f(x)-x=\int_{0}^{x^2} sqrt(cost)dt -x=\int_{0}^{x^2} (sqrt(cost))-1/(2sqrt(x))dt
quì primo quesito..da dove esce $-1/(2sqrt(x)$ ?
successivamente poi non ho capito bene come prosegue.Cioè dice che $\phi(0)=0$(poichè l'integrale sarebbe nullo) e fin quì ok, ma in questo modo è $l'unico$ punto fisso??successivamente studia la derivata prima in questo modo:
$\phi^i(x)=2x(sqrt(cosx^2)-1/(2|x|)) , x!=0$
da quì lui conosce l'andamento della funzione prima e dopo lo zero, cioè cresce prima dello zero,decresce dopo.
infine non ho capito perchè studia $\f^i(x)=2xsqrt(cosx^2)$
calcolandosi $\f(1/2) <=1/4$ non poteva, già finita la derivata prima ,dire per $a_1=1/2$ che il limite tendeva a 0?
grazie (ditemi se sbaglio il ragionamento )