Sull'esistenza delle funzioni trigonometriche in gradi

Messaggioda albi » 24/11/2009, 19:13

Un caro saluto a tutti gli appassionati di matematica come il sottoscritto. Sono Alberto laureato in Matematica a pieni voti e abilitato all'insegnamento della matematica e della fisica negli istituti superiori.

Vi scrivo perchè volevo soddisfare una piccola curiosità riguardante le funzioni trigonometriche. Come chiunque abbia studiato tirgonometria sa, queste funzioni sono definite su valori numerici che rappresentano le misure in radianti di un angolo, cioè per definire tali funzioni è consuetudine usare la misura in radianti dell'angolo e abbandonare quella in gradi. Ma, dal momento che anche la misura in gradi è un numero reale in quanto la misura in gradi non è altro che il rapporto tra l'angolo e la trecentossessantesima parte dell'angolo giro, nulla vieta che i due angoli siano incommensurabili e pertanto dare luogo ad una misura irrazionale. Quindi anche la misura in gradi può variare nel dominio dei numeri reali e queso consente di definire anche una funzione seno in gradi associando alla misura in gradi il corrispondente valore della grandezza trigonometrica. Sembra tutto abbastanza naturale ma molti anche insospettabili vedi taluni professori di matematica hanno difficoltà ad accetttare l'esistenza di funzioni trigonometruiche che agiscono su numeir che rappreesentano misure in gradi. Volevo sapere e come mai questo e poi perchè si passa sempre alla misura in radianti per definire le funzioni associate alle grandezze trigonometriche visto che si potrebbe bennissimo definirle anche rimanendo ai gradi come ho detto prima.

Grazie e a risentirci.
albi
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Re: Sull'esistenza delle funzioni trigonometriche in gradi

Messaggioda dissonance » 24/11/2009, 19:42

albi ha scritto:Sono Alberto laureato in Matematica a pieni voti e abilitato all'insegnamento della matematica e della fisica negli istituti superiori.
Io vedrei la differenza tra radianti e gradi come farebbe un fisico: i radianti, essendo un rapporto tra due lunghezze, sono numeri puri; i gradi invece sono multipli di una unità di misura. Le funzioni trigonometriche sono trascendenti (in effetti sono la parte reale ed immaginaria dell'esponenziale complessa ristretta alla circonferenza unitaria): e come tutte le funzioni trascendenti non ha senso valutarle in qualcosa che non sia un numero puro.
Se uno studente, ad un compito di Fisica, ti scrivesse $"sin" (1\ m)$ tu gli segneresti errore: allo stesso modo sarebbe errato scrivere $"sin" (1°)$ mentre sarebbe corretto $"sin"(1 "rad")$. In effetti si dovrebbe omettere il $"rad"$, che però torna comodo per la leggibilità di alcune formule.

Naturalmente, detto $\omega$ il fattore di conversione tra gradi e radianti (ovvero $1 ° \omega=1\ "rad"$), ha perfettamente senso scrivere $"sin"(1°\ *\ \omega)$, per cui si potrebbero definire le funzioni trigonometriche a meno di questo fattore.

P.S. : Questa è l'obiezione più semplice che mi venga in mente, ma ce ne sarebbero altre: definendo le funzioni trigonometriche in gradi, ci sarebbero problemi anche a livello matematico. Ad esempio, come dare una buona definizione di $pi$?
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Re: Sull'esistenza delle funzioni trigonometriche in gradi

Messaggioda Fioravante Patrone » 10/12/2009, 20:49

albi ha scritto:Sembra tutto abbastanza naturale ma molti anche insospettabili vedi taluni professori di matematica hanno difficoltà ad accetttare l'esistenza di funzioni trigonometruiche che agiscono su numeir che rappreesentano misure in gradi. Volevo sapere e come mai questo e poi perchè si passa sempre alla misura in radianti per definire le funzioni associate alle grandezze trigonometriche visto che si potrebbe bennissimo definirle anche rimanendo ai gradi come ho detto prima.


La risposta è: $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$, se l'angolo è misurato in radianti.
Ti posso garantire che non ho nessuna difficoltà ad accettare funzioni trigonometriche definite in gradi. Sono solo più scomode. Lascio a te il piacere di scoprire perché, magari tendondo conto della prima riga della mia risposta.
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