da tommik » 16/10/2016, 10:32
Penso che con un esempio pratico risolvi molti dubbi.
Prendiamo una bernulliana
$f(x,theta)=theta^x(1-theta)^(1-x)$;$x=0,1$
prendiamo uno stimatore non distorto della media $T=bar(x)$
calcoliamo il limite inferiore di Cramer Rao
$V(T)>=1/(-nE{partial^2/(partialtheta^2)log f(x,theta)})$
$logf(x,theta)=xlogtheta+(1-x)log(1-theta)$
$partial/(partialtheta)logf(x,theta)=x/theta+(1-x)/(1-theta)$
$partial^2/(partialtheta^2)logf(x,theta)=...=-(x-theta)^2/(theta^2(1-theta)^2)$
$E{partial^2/(partialtheta^2)logf(x,theta)}=-(theta(1-theta))/(theta^2(1-theta)^2)=-1/(theta(1-theta))$
quindi in definitiva
$V(T)>=(theta(1-theta))/n=sigma^2/n$
abbiamo trovato che il limite inferiore della varianza di uno stinatore non distorto per $theta$ è proprio uguale alla varianza della media campionaria....quindi $bar(x)$ è uno stimatore UMVUE
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altro esempio:
$f(x,theta)=theta e^(-thetax)$
stimiamo una funzione di $theta$
$1/theta$ con lo stimatore $bar(x)$
per calcolare il limite inferiore di Cramer Rao occorre utlilizzare una verisone più allargata della disuguaglianza:
$V(T)>=[partial/(partialtheta)g(theta)]^2/(-nE{partial^2/(partialtheta^2)log f(x,theta)})$
$log f(x,theta)=logtheta-thetax$
$partial/(partialtheta)log f(x,theta)=1/theta-x$
$partial^2/(partialtheta^2)log f(x,theta)=-1/theta^2$
$-nE[partial^2/(partialtheta^2)log f(x,theta)]=n/theta^2$
quindi otteniamo
$V(T)>=1/(theta^2n)=sigma^2/n$
e quindi, anche in questo caso, concludiamo che $bar(x)$ è UMVUE
ora dovrebbe essere più chiaro....fai delle prove con altre distribuzioni (regolari, ovviamente). Se ti interessa il limite inferiore di Cramer Rao anche per distribuzioni non regolari c'è un topic dove calcolo anche questo, secondo l'approccio di Chapman, Robbins Kiefer.