Teorema di Hamilton-Cayley

[Dorian]

Dice che, dato $phi$ endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$:

$P_(phi)(phi) = 0_(end(V))$

cioè che il polinomio caratteristico valutato in $phi$ dà l'applicazione identicamente nulla...

Questo risultato si può dimostrare in diverse maniere... Ma non così:

$P_(phi)(x)$ = $det (x1_n-phi)$ = $det (phi1_n-phi)$ = $det (phi-phi)$ = $det (0_n)$ = $0$

Come mai??? L'unica spiegazione (poco convincente) che mi sò dare è che il teorema dice:

$P_(phi)(phi) = 0_(end(V))$ (zero=applicazione nulla)...

Mentre la pseuso-dimostrazione dice:

$P_(phi)(phi) = 0$ (zero=elemento del corpo)...

E' così?

[pat87]

Infatti $P_{\phi}(\phi)$ è ancora un endomorfismo (o una matrice). Il teorema afferma che il seguente endomorfismo è quello nullo (matrice nulla).
Mentre è sbagliato procedere in questo modo poiché il determinante è sempre un numero (elemento del corpo).

[Dorian]

Infatti $P_{\phi}(\phi)$ è ancora un endomorfismo (o una matrice). Il teorema afferma che il seguente endomorfismo è quello nullo (matrice nulla).
Mentre è sbagliato procedere in questo modo poiché il determinante è sempre un numero (elemento del corpo).

Grazie della risposta.
Pensavo che l'errore della pseudo-dimostrazione fosse a monte... Cioè che la sostituzione, fatta in quella maniera, non fosse giustificata...