Teorema di Heine Borel

[Sirio1988]

Salve a tutti,
ho qualche problema con la dimostrazione del teorema di Heine Borel. Ho preso appunti a lezione ma non riesco a capire alcune cose. In particolare non capisco come dimostrare che se $A sube RR^n $ è compatto, allora esso è anche limitato.

Riporto di seguito gli appunti del mio prof.
Si supponga per assurdo che A non sia limitato. Quindi considerando una sfera di raggio 1 e centro 0 si avrà:

$||x_1 - x_0||>=1$ con $x_1 in A$

$||x_2 - x_0||>=2$ con $x_2 != x_1 $, $x_1 in A$
.
..
...

$||x_k - x_0||>=k$ con $x_k in A$

Ho quindi trovato una successione ${x_k}$ ed essendo A compatto potrò considerarne una successione estratta convergente ad un punto di A: ${x_(nk)} rarr bar x in A$

Sfruttando la proprietà triangolare della norma euclidea si avrà $||x_(nk) - x_0||<=||x_(nk) - bar x ||+||bar x - x_0||$

e contemporaneamente $||x_(nk) - x_0||>=nk$
quindi $||x_(nk) - x_0||rarr +oo$

Praticamente non ho capito perchè dice di considerare una sfera di centro 0 (forse intendeva $x_0$ ?) e cosa di preciso si faccia alla fine.
Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi.

[Paolo90]

Non so perché, ma la dimostrazione che mi viene in mente in questo momento non passa dalle successioni, ma solo dalla definizione di compattezza tramite ricoprimenti.

Facciamolo con $n=1$, tanto non cambia nulla. Prendi $K \in RR$ compatto. Che sia chiuso è ovvio perché $RR$ è uno spazio di Hausdorff. Se poi, per assurdo, non fosse limitato, allora ${(-n,n)}_{n in NN}$ sarebbe un ricoprimento aperto dal quale non si può estrarre un sottoricoprimento finito ($uuu_{i in I}(-n_{i}, n_{i}) = (-N,N) subset RR$, dove $I$ è un insieme di indici finito e $N: = max_{I} n_{i}$).
Naturalmente, la cosa si adatta perfettamente in dimensione maggiore di 1, basta prendere prodotti di intervalli aperti (che sono ovviamente aperti nella topologia prodotto).

Spero sia chiaro.

[Sirio1988]

Grazie.

Non so perché, ma la dimostrazione che mi viene in mente in questo momento non passa dalle successioni, ma solo dalla definizione di compattezza tramite ricoprimenti.

Facciamolo con $n=1$, tanto non cambia nulla. Prendi $K \in RR$ compatto. Che sia chiuso è ovvio perché $RR$ è uno spazio di Hausdorff. Se poi, per assurdo, non fosse limitato, allora ${(-n,n)}_{n in NN}$ sarebbe un ricoprimento aperto dal quale non si può estrarre un sottoricoprimento finito ($uuu_{i in I}(-n_{i}, n_{i}) = (-N,N) subset RR$, dove $I$ è un insieme di indici finito e $N: = max_{I} n_{i}$).
Naturalmente, la cosa si adatta perfettamente in dimensione maggiore di 1, basta prendere prodotti di intervalli aperti (che sono ovviamente aperti nella topologia prodotto).

Spero sia chiaro.

Chiarissimo. Però il mio prof. lo vuole dimostrato in quel modo. Comunque grazie lo stesso.

[dissonance]

"Cosa" si fa alla fine è presto detto: il prof suppone per assurdo che il tuo insieme non sia limitato e costruisce una successione in maniera tale che ogni elemento si trovi sempre più lontano dall'origine. Visualizzati la cosa in \(\mathbb{R}^2\), disegnando qualche insieme non limitato e provando ad applicare la costruzione del prof. Ti renderai subito conto che la successione così costruita non può avere estratte convergenti.

[Sirio1988]

Ammetto che è passato diverso tempo da quando ho postato la domanda, ma controllando i miei appunti mi sono reso conto che non ho dimostrato la condizione sufficiente. Per tale ragione ho controllato sul mio testo di riferimento ed ho trovato un passo che non ho compreso pienamente. Lo riporto di seguito.

Per semplicità di esposizione riportiamo la dimostrazione nel caso n=2 ($K sube RR^2$). Sia ${(x_j,y_j)}$ una successione di elementi di K. Essa è limitata e quindi lo sono anche ${x_j}$ e ${y_j}$. Consideriamo la successione ${x_j}$. Per il lemma di compattezza relativo alle successioi numeriche, esiste una sottosuccessione ${x_(k_j)}$ tale che:

$lim_(j rarr +oo) x_(k_j)=x^text(*) in RR$

Anche dalla successione ${y_(k_j)}$ possiamo estrarre una sottosuccessione ${y_(h_(k_j))}$ tale che:

$lim_(j rarr +oo) y_(h_(k_j))=y^text(*) in RR$.

La successione ${(x_(h_(k_j)),y_(h_(k_j)))}$ è un'estratta della successione di partenza e converge a $(x^text(*),y^text(*))$. Per completare la dimostrazione bisogna provare che $(x^text(*),y^text(*)) in K$.
Ciò segue dal fatto che il limite è punto di accumulazione per K e quindi appartiene a K in quanto insieme chiuso.

Premettendo che mi sono perso tra gli indici delle estratte, non riesco a capire nemmeno la parte finale.

[Sirio1988]

Per il lemma di compattezza relativo alle successioi numeriche, esiste una sottosuccessione ${x_(k_j)}$ tale che:

$lim_(j rarr +oo) x_(k_j)=x^text(*) in RR$

A cosa si riferisce quando parla del lemma di compattezza?

[Sirio1988]

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[Sirio1988]

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[Paolo90]

Per il lemma di compattezza relativo alle successioi numeriche, esiste una sottosuccessione ${x_(k_j)}$ tale che:

$lim_(j rarr +oo) x_(k_j)=x^text(*) in RR$

A cosa si riferisce quando parla del lemma di compattezza?

Non è Bolzano-Weierstrass? Una successione limitata ha un'estratta convergente.

[Sirio1988]

Dovrebbe essere così. Ma per gli indici?