teoria 0: game form e gioco

[Fioravante Patrone]

Una game form in forma strategica, a due giocatori, è:

$(X,Y,E,h)$

Dove:
- $X,Y,E$ sono insiemi
- $h$ è una funzione definita su $X \times Y$ ed a valori in $E$

Interpretazione (per ubermensch e non solo):
- $X$ rappresenta l'insieme delle scelte disponibili per il primo giocatore (che indicherò come giocatore "I"); idem per $Y$ rispetto al giocatore "II"
- $E$ rappresenta un insieme che contiene tutti gli esiti possibili del gioco in considerazione
- $h$ è la funzione che dice quale esito si otterrà, date le scelte dei giocatori. Più precisamente, se I sceglie $x$ e II sceglie $y$, si otterrà l'esito $h(x,y)$

Per passare a un gioco, occorre conoscere le preferenze dei giocatori rispetto ai vari elementi di $E$.
Un modo "spiccio" per descrivere tali preferenze è quello di utilizzare "funzioni di utilità".
Ad esempio, per il giocatore I assumeremo che sia data una funzione $u$ definita su $E$ ed a valori in $RR$. Interpreteremo $u(e') \ge u(e'')$ come espressione del fatto che egli preferisce l'esito $e'$ all'esito $e''$.

Quindi, se abbiamo una game form $(X,Y,E,h)$ e una coppia di funzioni di utilità (una per ognuno dei giocatori) $(u,v)$, abbiamo un gioco:
$(X,Y,E,h,u,v)$

Definendo $f=u \circ h$ e $g = v \circ h$, otteniamo $(X,Y,f,g)$. Ovvero un gioco a due giocatori in forma strategica, come definito nel post "teoria 1"


Domanda: le regole degli scacchi, del bridge, di rubamazzetto, del backgammon, del gioco dei fiammiferi, etc., definiscono un gioco o una game form?

Possiamo parlare, ai sensi delle definizioni sopra viste, del gioco dei fiammiferi come di un "gioco"?



PS: corretto errore di stampa segnalato da Stepper

[marco vicari]

provo a rispondere alle due domande di Fioravante:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Le regole di un gioco dovrebbero definire una game form perchè nulla ci dicono riguardo alle preferenze dei giocatori, anche se sembra evidente che chi partecipa al gioco preferisce vincere...

Il gioco dei fiammiferi è un gioco se oltre alle regole abbiamo anche le preferenze dei giocatori o una funzione di utilità che le rappresenti.

[Fioravante Patrone]

Ringrazio marco vicari per aver "resuscitato" questo post che era rimasto immeritatamente relativamente trascurato.

La distinzione fra "game form" e "gioco" è una delle acquisizioni importanti della TdG.
Non che debba essere considerata "l'ultima parola". Anzi, mi piacerebbe leggere delle contestazioni alla possibilità di fare questo disaccoppiamento (gioco come 2 pezzi giustapposti: game form e preferenze).



risposta a marco vicari:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Le risposte sono corrette, per quanto mi riguarda.

[Lord K]

Se mi permettete vorrei capire bene il tutto ed all'uopo ho qualche domanda:

Se ho capito bene, in base alla scelta di u e v ho diversi tipi di gioco basati sulla stessa game form? Come faccio a sapere che funzione di utilità può scegliere il giocatore I o il giocatore II? Ovvero genericamente per descrivere il game form devo necessariamente valutare tutte le possibili funzioni di utilià per ciascun giocatore?

L'insieme di scelte disponibili come viene definito? Per esempio nel gioco degli scacchi sono tutti i possibili movimenti di apertura (palusibile) o per esempio oltre l'insieme delle mosse e la possibilità di prendere un pezzo e lanciarlo all'avversario (assolutamente assurdo, ma volutamente provocatorio)?

Grazie Mille.

[Fioravante Patrone]

Se ho capito bene, in base alla scelta di u e v ho diversi tipi di gioco basati sulla stessa game form?

Esatto. Volendo essere pignolo, direi che ho diversi giochi, invece che tipi di gioco.

Come faccio a sapere che funzione di utilità può scegliere il giocatore I o il giocatore II? Ovvero genericamente per descrivere il game form devo necessariamente valutare tutte le possibili funzioni di utilià per ciascun giocatore?

No, per descrivere la "game form" non devi conoscere nulla delle funzioni di utilità.
Le funzioni di utilità, per così dire, si "appiccicano sopra" ad una game form data.
Ovvero, per avere un gioco tu devi aggiungere come dato, oltre alla game form, le funzioni di utilità dei giocatori.

L'insieme di scelte disponibili come viene definito? Per esempio nel gioco degli scacchi sono tutti i possibili movimenti di apertura (palusibile) o per esempio oltre l'insieme delle mosse e la possibilità di prendere un pezzo e lanciarlo all'avversario (assolutamente assurdo, ma volutamente provocatorio)?

La domanda che tu fai richiama un altro modello, che è quello della game form e gioco in forma estesa (per i dettagli:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... tm#PARTE_2
ed in particolare questo pdf: http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... estesa.pdf ).

La definizione della forma estesa per il gioco degli scacchi contempla la descrizione dell'albero che si costruisce prendendo, ad ogni mossa, l'insieme delle scelte possibili per quello a cui "tocca". Un albero grosso mostruoso, ovviamente. Ma nulla di strano, in principio. Poi, puoi costruire da questo la forma strategica, come indicato nel pdf che ho citato.

Un esempio, molto più semplice, di game form può essere quella che descrive la cosiddetta "morra cinese" (sasso, pietra, forbice).

Quanto alla domanda "provocatoria", tieni presente che, quando si modellizza una game form, si fa sempre e comunque un modello, basato su assunzioni che siano ragionevoli nel contesto cui si vogliono applicare.
Di solito, quando si parla di game form per gli scacchi si sottintende che i giocatori giochino secondo le regole. Quindi non si prevede che possano spazzare via i pezzi dalla scacchiera, o provare a vincere tirando un alfiere nell'occhio dell'avversario, o spaccare la scacchiera (un mio compagno di classe ed amico l'ha fatto, dopo aver perso una partita con me. Avendolo fatto però a partita ormai finita possiamo considerare questo dettaglio come irrilevante). Sta a chi fa il modello comprendere se questo tipo di "mosse" siano da considerare o no.
Aggiungo, su un altro versante, ma sempre restando in argomento, che di solito nella descrizione degli scacchi come game form non si tiene conto del fatto che un giocatore faccia gli occhiacci, che sbuffi come un mantice con gli occhi fuori dalle orbite, che si metta a piangere. Né si tiene conto del fatto che si scaccoli, voluttuosamente o meno. Tutte queste sono scelte modellistiche.

[Lord K]

Se ho capito bene, in base alla scelta di u e v ho diversi tipi di gioco basati sulla stessa game form?

Esatto. Volendo essere pignolo, direi che ho diversi giochi, invece che tipi di gioco.

Come faccio a sapere che funzione di utilità può scegliere il giocatore I o il giocatore II? Ovvero genericamente per descrivere il game form devo necessariamente valutare tutte le possibili funzioni di utilià per ciascun giocatore?

No, per descrivere la "game form" non devi conoscere nulla delle funzioni di utilità.
Le funzioni di utilità, per così dire, si "appiccicano sopra" ad una game form data.
Ovvero, per avere un gioco tu devi aggiungere come dato, oltre alla game form, le funzioni di utilità dei giocatori.

L'insieme di scelte disponibili come viene definito? Per esempio nel gioco degli scacchi sono tutti i possibili movimenti di apertura (palusibile) o per esempio oltre l'insieme delle mosse e la possibilità di prendere un pezzo e lanciarlo all'avversario (assolutamente assurdo, ma volutamente provocatorio)?

La domanda che tu fai richiama un altro modello, che è quello della game form e gioco in forma estesa (per i dettagli:
http://www.diptem.unige.it/patrone/deci ... tm#PARTE_2 ed in particolare questo pdf: http://www.diptem.unige.it/patrone/deci ... estesa.pdf ).

La definizione della forma estesa per il gioco degli scacchi contempla la descrizione dell'albero che si costruisce prendendo, ad ogni mossa, l'insieme delle scelte possibili per quello a cui "tocca". Un albero grosso mostruoso, ovviamente. Ma nulla di strano, in principio. Poi, puoi costruire da questo la forma strategica, come indicato nel pdf che ho citato.

Un esempio, molto più semplice, di game form può essere quella che descrive la cosiddetta "morra cinese" (sasso, pietra, forbice).

Chiaro!

Quanto alla domanda "provocatoria", tieni presente che, quando si modellizza una game form, si fa sempre e comunque un modello, basato su assunzioni che siano ragionevoli nel contesto cui si vogliono applicare.

Di solito, quando si parla di game form per gli scacchi si sottintende che i giocatori giochino secondo le regole. Quindi non si prevede che possano spazzare via i pezzi dalla scacchiera, o provare a vincere tirando un alfiere nell'occhio dell'avversario, o spaccare la scacchiera (un mio compagno di classe ed amico l'ha fatto, dopo aver perso una partita con me. Avendolo fatto però a partita ormai finita possiamo considerare questo dettaglio come irrilevante). Sta a chi fa il modello comprendere se questo tipo di "mosse" siano da considerare o no.
Aggiungo, su un altro versante, ma sempre restando in argomento, che di solito nella descrizione degli scacchi come game form non si tiene conto del fatto che un giocatore faccia gli occhiacci, che sbuffi come un mantice con gli occhi fuori dalle orbite, che si metta a piangere. Né si tiene conto del fatto che si scaccoli, voluttuosamente o meno. Tutte queste sono scelte modellistiche.

Quindi la determinazione delle possibili scelte sono arbitrarie e determinate al momento della determinazione dell'obiettivo del modello.

Grazie mille

P.S. Faccio presente che dal mio pc non riesco ad aprire le due lezioni successive... è possibile ripristinarle?

[stepper]

[quote="Fioravante Patrone"]Una game form in forma strategica, a due giocatori, è:

$(X,Y,E,h)$

Dove:
- $X,Y,E$ sono insiemi
- $h$ è una funzione definita su $X \times Y$ ed a valori in $E$

Interpretazione (per ubermensch e non solo):
- $X$ rappresenta l'insieme delle scelte disponibili per il primo giocatore (che indicherò come giocatore "I"); idem per $Y$ rispetto al giocatore "II"
- $E$ rappresenta un insieme che contiene tutti gli esiti possibili del gioco in considerazione
- $h$ è la funzione che dice quale esito si otterrà, date le scelte dei giocatori. Più precisamente, se I sceglie $x$ e II sceglie $y$, si otterrà l'esito $h(x,y)$

Per passare a un gioco, occorre conoscere le preferenze dei giocatori rispetto ai vari elementi di $E$.
Un modo "spiccio" per descrivere tali preferenze è quello di utilizzare "funzioni di utilità".
Ad esempio, per il giocatore I assumeremo che sia data una funzione $u$ definita su $E$ ed a valori in $RR$. Interpreteremo $u(e') \ge u(e'')$ come espressione del fatto che egli preferisce l'esito $e'$ all'esito $e''$.

Quindi, se abbiamo una game form $(X,Y,E,h)$ e una coppia di funzioni di utilità (una per ognuno dei giocatori) $(u,v)$, abbiamo un gioco:
$(X,Y,E,h,u,v)$

Definendo $f=u \circ h$ e $g = v \circ v$, otteniamo $(X,Y,f,g)$. Ovvero un gioco a due giocatori in forma strategica, come definito nel post "teoria 1"


Scusa la mia ignoranza ma non dovrebbe essere $g = v \circ h$?

[Lord K]

Come da Fioravante consigliato ho dato una occhiata alle dispense segnalate.

In particolare sto osservando il Gioco di Isbell... a pag.12 viene detto che il payoff atteso è di 1/4. Intuitivamente mi veniva da supporre che fosse di 1/3, visto che le foglie dell'albero sono 3 e che pensavo che il calcolo venisse fatto solamente considerando il caso nella condizione finale. Non si dovrebbe quindi aggiungere per maggior chiarezza anche il valore 0 al nodo dopo il primo "proseguo"?

Grazie

[Fioravante Patrone]

La risposta è "no".

Basta considerare il problema, senza neanche interessarsi della forma estesa.

Quando la sua strategia NON lo porta a casa?
- quando al primo bivio gli esce la strada sbagliata: probabilità 1/2
- quando, dopo aver fatto la scelta giusta al primo bivio, gli esce quella sbagliata al secondo: la probabilità è 1/2, condizionata al fatto che abbia fatto la scelta giusta al primo. Ma questo evento ha probabilità 1/2 e, dato che i lanci delle monete sono indipendenti, la probabilità condizionata è semplicemente il prodotto delle probabilità. Quindi 1/2 * 1/2 = 1/4
Quindi, la probabilità di scegliere la strada sbagliata è 3/4.


Per quanto riguarda invece l'aggiunta di uno "0" al nodo dopo il primo "proseguo", non ne vedo la ragione. Di solito, una cosa simile si fa (o, meglio, se ne tiene conto) nei giochi ripetuti. Perché dopo ogni "stage" si ha un esito parziale.
Ma io l'esempio di Isbell lo leggo in questo modo: ho solo esiti "finali", quando la strada è finita. E quindi solo in corrispondenza dei nodi terminali. Per così dire, l'esito che posso associare ai nodi intermedi è "non è ancora successo niente che mi interessi"
Tieni presente che il tuo "suggerimento" si applica a tutti i giochi in forma estesa. Sarebbe un appesantimento inutile della rappresentazione (che già proprio leggera non è).

[Lord K]

Ho capito!