teoria 1bis: non esistenza di equilibri di Nash

[Valerio Capraro]

bene... comincio ad essere seriamente curioso di conoscere il teorema di Nash...
peccato che devo cominciare a preparare Topologia Algebrica e non so quanto potrò seguirvi.

[Fioravante Patrone]

Una frustatina, ma leggera: per l'assurdo serve $f(K,a)>f(X(a),a)$

But Fioravante, non mi e' chiara la tua osservazione... Anche $f(K,a)=f(X(a),a)$ e' assurdo, essendo $K!=X(a)$, per unicita' del max.

accidenti, niente frustate
peccato, sarà per un'altra volta!

[Fioravante Patrone]

bene... comincio ad essere seriamente curioso di conoscere il teorema di Nash...
peccato che devo cominciare a preparare Topologia Algebrica e non so quanto potrò seguirvi.

precedici, allora!
magari ci dai una dim del teorema di Brouwer mediante Top Alg

[Valerio Capraro]

Ehm... dovrei andarla a ripescare negli appunti di Topologia (l'abbiamo fatta là! in questo corso si fa solo omologia singolare e coomologia di De Rham)... su due piedi ne posso dare una molto carina di teoria dei grafi...

la devo scrivere per davvero, o stai scherzando?

[Fioravante Patrone]

la devo scrivere per davvero, o stai scherzando?

beh, la partecipazione al forum è volontaria!

[Valerio Capraro]

se è importante per proseguire la metto (anche quella di topologia algebrica.. me la riguardo al volo!) ... vabbè... la metto.. un ripassino non fa mai male!

Fra l'altro, noto per inciso, che non sono convintissimo dell'utilizzo che fa Field del teorema di Brower: prima di tutto esso si riferisce a funzioni definite sul disco chiuso (almeno nella versione che conosco io!), secondo poi non è detto che una funzione da $[0,1]$ a $[0,1]$ continua abbia un punto fisso... a meno che non sia surjettiva...
Io in effetti avevo concluso diversamente la dimostrazione, pensando di diesgnare le curve dei massimi sul quadrato $[0,1]^2$ e osservando che queste devono sicuramente intersecarsi..

vabbè..

th(punto fisso di Brower)
Sia $D^2\subsetRR^2$ il disco chiuso e $f : D^2->D^2$ continua. Allora $f$ ammette un punto fisso.

dimostrazione
Per assurdo $f(x)\nex,\forall x$. Definiamo $r : D^2->S^1$ come $r(x)=x+t(x-f(x)$ dove $t>0$ è tale da rendere $r(x)$ di norma $1$. Ci vorrebbe una figura per capire la situazione che è piuttosto intuitiva: se $x\nef(x)$, allora questi due punti individuano una retta, che orientiamo verso $x$ (grazie alla scelta $t>0$). Dunque $r(x)$ è l'intersezione della semiretta che parte da $f(x)$ verso $x$ col bordo del disco). Ora $r$ è continua e $r(x)=x,\forall x\in S^1$. Dunque $r$ è una retrazione del disco sul bordo.. questo è un assurdo perchè il gruppo fondamentale del disco è diverso da quello del bordo, cioè $S^1$.

[fields]

Fra l'altro, noto per inciso, che non sono convintissimo dell'utilizzo che fa Field del teorema di Brower: prima di tutto esso si riferisce a funzioni definite sul disco chiuso (almeno nella versione che conosco io!), secondo poi non è detto che una funzione da $[0,1]$ a $[0,1]$ continua abbia un punto fisso... a meno che non sia surjettiva...

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... di_Brouwer

[Fioravante Patrone]

Fra l'altro, noto per inciso, che non sono convintissimo dell'utilizzo che fa Field del teorema di Brower: prima di tutto esso si riferisce a funzioni definite sul disco chiuso (almeno nella versione che conosco io!), secondo poi non è detto che una funzione da $[0,1]$ a $[0,1]$ continua abbia un punto fisso... a meno che non sia surjettiva...
Io in effetti avevo concluso diversamente la dimostrazione, pensando di diesgnare le curve dei massimi sul quadrato $[0,1]^2$ e osservando che queste devono sicuramente intersecarsi..

Brouwer, non Brower (vedi: https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 7469#87469)

Vediamo le tue "obiezioni" a fields (provo a risparmiargli un po' di lavoro, glielo devo, dopo il maldestro tentativo di somministrargli una frustatina)

1.
Disco chiuso? Quello che è sufficiente è un compatto convesso (non vuoto ) di $RR^n$. Un tale oggetto è omeomorfo ad un disco chiuso (in uno spazio della dimensione opportuna...). Quindi, essendo roba di Top, non fa differenza.

2.
Suriettiva? No, ti ricordi male. La condizione di suriettività non serve per il teorema di Brouwer e suoi parenti stretti. Oltretutto, in $[0,1]$, Brouwer lo si deduce subito dal teorema degli zeri e vedi chiaramente che non serve suriettività.

3.
Non mi è chiaro cosa intendi, palando di intersezione. Comunque, ci sono teoremi di "non intersezione" che sono equivalenti al teorema di Brouwer.

[Fioravante Patrone]

vabbé, non sono riuscito a risparmiare a fields la fatica...

ma visto che cita wikipedia, ne approfitto per rendere noto "urbi et orbi" che 213.140.22.67 (vedi cronologia) ero io
e quale contributo fondamentale ho dato?
ho aggiunto "non vuoto"

[fields]

vabbé, non sono riuscito a risparmiare a fields la fatica...

E' già, la fatica del "copia-incolla"...