[RISOLTO]Trigonometria: lati obliqui Trap scaleno

Messaggioda hastings » 03/04/2012, 18:51

salve a tutti,
mi aiutereste a risolvere questo problemino di trigonometria?
In un trapezio scaleno ABCD le basi misurano: \(\displaystyle \overline{AB}=5\sqrt{3}+21 \) e \(\displaystyle \overline{CD}=9 \). Sapendo che l'angolo in B è 60° e che \(\displaystyle \cos{\hat{D}}=-\frac{5}{13} \) calcola la lunghezza dei lati obliqui.

Si deve far uso dei teoremi del seno e il teorema di Carnot.

SVOLGIMENTO
A qualcosa servirà quel coseno, no? Applico il teorema di Carnot ai triangoli ACD e ABC rispettivamente:
Posto y=AD (lato obliquo sinistra), x=CB (lato obliquo a destra)
1) \(\displaystyle AC^2=AD^2 + CD^2 -2\cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\hat{D}} =y^2 + 81 -2\cdot 9 \cdot y \cdot (\cos{ \hat{D}})=y^2+\dfrac{90}{13}y + 81\)

2)\(\displaystyle AC^2=CB^2+AB^2-2 \cdot AB \cdot CB \cdot \cos{60}=x^2 + (5\sqrt{3}+21)^2 - 2(5\sqrt{3}+21)\cdot\dfrac{1}{2}x= \)
\(\displaystyle =x^2 -(5\sqrt{3}+21)^2 -(5\sqrt{3}+21)x \)

Poi come posso procedere? Se eguaglio queste due espressioni ottengo una espressione con 2 incognite di secondo grado...
Ultima modifica di hastings il 03/04/2012, 22:53, modificato 1 volta in totale.
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Re: Trigonometria: lati obliqui Trap scaleno

Messaggioda MaMo » 03/04/2012, 19:52

L'altezza del trapezio è data da: CH = $xsin60=sqrt3/2x$

Essa è anche: CH = $ysin(180-D)=ysinD=12/13y$

Ora dovresti farcela...
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Re: Trigonometria: lati obliqui Trap scaleno

Messaggioda hastings » 03/04/2012, 20:31

MaMo ha scritto:CH =\(\displaystyle y \cdot \sin(180−D)=y \; \sin{D}=\frac{12}{13}y \)

Non capisco perché \(\displaystyle CH=y \cdot \sin(180−D)\). Perché $\sin(180 -\hat{D})$? Quale triangolo stai considerando?
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Re: Trigonometria: lati obliqui Trap scaleno

Messaggioda hastings » 03/04/2012, 20:50

I risultati suggeriti dal libro sono $24$ e $13\sqrt{3}$. Ho provato ad inserire l'ultimo passaggio (l'equaz di 2° grado in x quadro) nel sito di Wolfram, perché i numeri erano esageratamente grandi ma le due radici vengono diverse da quelle suggerite dal libro... O ho fatto un errore di calcolo oppure CH$=12/13y$ non è azzeccato.
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Re: Trigonometria: lati obliqui Trap scaleno

Messaggioda MaMo » 03/04/2012, 21:20

A me le due radici vengono esatte. (hai sbagliato un segno nella seconda equazione di AC)

P.S. Ho considerato il triangolo rettangolo esterno ADK.
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Re: Trigonometria: lati obliqui Trap scaleno

Messaggioda hastings » 03/04/2012, 22:49

Ok, adesso mi viene.
Comunque alla fine, risolvendo tutto in "x" si arriva a:
$-23/192 x^2 +(15/4 \sqrt{3}+5\sqrt{3}+21)x+81-(5\sqrt{3}+21)^2=0$
Io l'ho fatto fare a Wolfram...
Grazie.
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Re: [RISOLTO]Trigonometria: lati obliqui Trap scaleno

Messaggioda vittorino70 » 04/04/2012, 08:46

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Re: [RISOLTO]Trigonometria: lati obliqui Trap scaleno

Messaggioda hastings » 04/04/2012, 12:26

vittorino70, grazie per la soluzione lineare. Come l'hai fatto tu, è semplice, non serve nemmeno risolvere l'equazione di 2°grado! Soluzione semplice e alla portata di tutti.
Grazie mille.
-ciao, ciao!
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