gugo82 ha scritto:Esercizio:
Dimostrare che entrambi \(\cos 1^\circ \) e \(\sin 1^\circ\) sono numeri irrazionali.
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Cominciare dal coseno, procedendo per assurdo (i.e. supponendo \(\cos 1^\circ\) razionale).
Usare la formula di duplicazione per ottenere la razionalità di \(\cos 2^\circ\); fare induzione, usando le formule di prostaferesi per provare che \(2\ \cos (n+1)^\circ\) è razionale se lo è \(\cos n^\circ\). In tal modo si raggiunge un assurdo... Perché quanto vale \(\cos 60^\circ\)?
Dim. (irrazionalità di \(\cos 1^\circ\)):
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Supponiamo per assurdo che \(\cos 1^\circ\) sia razionale e proviamo che, allora, \(\cos n^\circ\) è razionale per ogni \(n\in \mathbb{N}\).
Per fare ciò usiamo il Principio d'Induzione Matematica nella seconda forma.
1. Base dell'induzione: \(\cos 2^\circ\) è razionale.
Dalla formula di duplicazione del coseno e dalla relazione fondamentale della trigonometria si ricava immediatamente:
\[
\cos 2^\circ = \cos^2 1^\circ -\sin^2 1^\circ =2\cos^2 1^\circ -1\; ;
\]
dal'ipotesi dell'assurdo discende che \(\cos^2 1^\circ\) è un numero razionale, quindi anche \(2\cos^2 1^\circ -1\) è razionale e dell'uguaglianza precedente segue che \(\cos 2^\circ\) è razionale.
2. Passo induttivo: se \(\cos 1^\circ,\cos 2^\circ,\ldots , \cos (n-1)^\circ\) sono razionali allora \(\cos n^\circ\) è razionale.
Dalla formula di prostaferesi per la somma di coseni:
\[
\cos \alpha +\cos \beta = 2\ \cos \frac{\alpha + \beta}{2}\ \cos \frac{\alpha -\beta}{2}\; ,
\]
prendendo \(\alpha = n^\circ\) e \(\beta =(n-2)^\circ\), si trae:
\[
\cos n^\circ = 2\ \cos (n-1)^\circ\ \cos 1^\circ - \cos (n-2)^\circ\; ;
\]
Per ipotesi induttiva, la quantità presente al secondo membro è un numero razionale, e tanto basta per ritenere acquisito il passo induttivo.
Da quanto appena provato discende che \(\cos n^\circ\) è razionale per ogni valore di \(n \in \mathbb{N}\).
Ma ciò è assurdo, perché per \(n=60\) è ben noto che \(\cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) non è un numero razionale.
Conseguentemente \(\cos 1^\circ\) è un numero irrazionale. \(\square\)
Dim. (irrazionalità di \(\sin 1^\circ\)):
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Supponiamo, per assurdo, che \(\sin 1^\circ\) sia un numero razionale.
Dalle identità per gli archi associati si trae facilmente \(\sin 1^\circ = \cos 89^\circ\), ergo per ipotesi \(\cos 89^\circ\) è razionale. Proviamo che, allora, è razionale anche \(\cos (n\ 89)^\circ\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\).
Per fare ciò usiamo nuovamente il Principio d'Induzione Matematica nella seconda forma; si vedrà che basta ripetere, mutatis mutandis, lo stesso ragionamento fatto nella dimostrazione precedente.
1. Base dell'induzione: \(\cos 178^\circ\) è razionale.
Dalla formula di duplicazione del coseno e dalla relazione fondamentale della trigonometria discende:
\[
\cos 178^\circ = 2\ \cos 89^\circ -1\; ;
\]
ma, essendo \(\cos 89^\circ\) razionale, è razionale anche il secondo membro dell'uguaglianza precedente e ciò è quanto volevamo.
2. Passo induttivo: se \(\cos 89^\circ,\ \cos 178^\circ,\ldots ,\ \cos ((n-1)\ 89)^\circ\) sono razionali, tale è \(\cos (n\ 89)^\circ\).
Dalla formula di prostaferesi per la somma di coseni:
\[
\cos \alpha +\cos \beta = 2\ \cos \frac{\alpha + \beta}{2}\ \cos \frac{\alpha -\beta}{2}\; ,
\]
prendendo \(\alpha = (n\ 89)^\circ\) e \(\beta =((n-2)\ 89)^\circ\), si trae:
\[
\cos (n\ 89)^\circ = 2\ \cos ((n-1)\ 89)^\circ\ \cos 89^\circ - \cos ((n-2)\ 89)^\circ\; ;
\]
Per ipotesi induttiva, la quantità al secondo membro è un numero razionale, e tanto basta per ritenere acquisito il passo induttivo.
Da quanto appena provato discende che \(\cos (n\ 89)^\circ\) è razionale per ogni valore di \(n \in \mathbb{N}\).
Ma ciò è assurdo, perché per \(n=300\) si ha:
\[
\cos (300\ 89)^\circ = \cos 26700^\circ = \cos (60^\circ + 26640^\circ) = \cos (60^\circ + (7\ 360)^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
è ben noto che \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) non è un numero razionale.
Conseguentemente \(\sin 1^\circ\) è un numero irrazionale. \(\square\)
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)