Domande sugli integrali

[Myriam92]

$ F(a)-F(b)=0-(-(-2^²))=4 $
Ok penso di essermi fatta convinta...il meno che c'è al centro dovrebbe essere dovuto alla "scomposizione" dell'integrale ..
[Grazie per aver usato il MIO linguaggio ]

$ -int - x/(2-x) $
Io qui ho lasciato il segno meno sempre al numeratore e mi risulta identico al tuo
$ -x -2ln(x-2) $
però coi segni dell'argomento del log invertiti...
$ -x -2ln(2-x) $
Come Può essere? ( Non so se influisce che l'integrale sia definito tra (-1;1), ma nn credo...)



Qui ti sto a spiegare quanto più schematicamente possibile ( spero xD ) il mio dubbio... Guarda tutti i segni a matita che ho fatto...Se una spiegazione non c'è , imparero la formula " in neretto" così come è

[axpgn]

$ -int - x/(2-x) $
Io qui ho lasciato il segno meno sempre al numeratore e mi risulta identico al tuo
$ -x -2ln(x-2) $
però coi segni dell'argomento del log invertiti...
$ -x -2ln(2-x) $
Come Può essere? ( Non so se influisce che l'integrale sia definito tra (-1;1), ma nn credo...)

No, non sono la stessa cosa ... se vuoi, posta i passaggi che casomai vediamo ...

Qui ti sto a spiegare quanto più schematicamente possibile ( spero xD ) il mio dubbio... Guarda tutti i segni a matita che ho fatto...Se una spiegazione non c'è , imparero la formula " in neretto" così come è

Il tuo prof ha fatto ESATTAMENTE quello che ho scritto finora ...
Il discorso all'inizio sul $Delta=0$, ecc. è solo un metodo per scomporre velocemente il polinomio di secondo grado che sta a denominatore, non c'entra NIENTE con la "scomposizione in fratti semplici" che fa dopo ... se a quel risultato (cioè $(x+p/2)^2$) ci arrivavi con Ruffini o la divisione fra polinomi o qualcos'altro, era proprio la stessa cosa ...
Quella "formula in neretto" è solo un caso della scomposizione in fratti semplici (detta anche "partial fractions"); se non c'è l'hai tra i tuoi libri, vediamo di trovarla ...

[Myriam92]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

http://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/integrali/570-integrazione-di-funzioni-fratte-e-metodo-dei-fratti-semplici.html

Non so se posso pubblicarlo i link, ma se vedi, sto metodo di cui parli sta scritto nella tabella in basso alla spiegazione, seguita da: esempio di integrazione per fratti semplici . Scompone regolarmente il denominatore in tale esempio come $x^2(x-1)$.. solo che non si sa appunto per quale motivo ( se non per seguire quanto prestabilito dalla soprastante tabella) al momento di effettuare la somma di frazioni, ne mette una con una $x$ in più al denominatore... Perché sto bisogno? E nn semplicemente $A/x^2+B/(x-1)$...
Boh io ci levo mano, la tua dimostrazione me l'hai fatta per cui è così per forza di cose.. L'importante è che nn sbaglio ( )

$ -int - x/(2-x) $
Riguardo questo, visto che avevo già la $X$ negativa sia al numeratore che al denominatore, il segno l'ho lasciato così come era. Quindi
$- int -x/(2-x)= -int -(2-x)/(2-x)-int-2/(2-x)=[+x+2log|2-x|]$
Niente ho riprovato ma viene esattamente l'opposto...Troppi segni meno, vado in tilt!

[Myriam92]

Ho scritto sopra qualcosa che non va ?

Cmq svolgendo integrali sorge il.dubbio su quale metodo conviene applicare? Per parti o sostituzione?
$int sqrt x logx$ per esempio se qui decido di derivare log x e integrare la radice come $x^(1/2+1)/(1/2+1)$ è possibile...?

[axpgn]

$ -int - x/(2-x) $ ... Troppi segni meno, vado in tilt!

Riproviamo ...
$-int-x/(2-x)=-int(-x)/(2-x)=-int(-2+2-x)/(2-x)=-int(-2)/(2-x)-int(2-x)/(2-x)=$

$=-2int1/(x-2)-int1=-2ln|x-2|-x$

Ok?

[axpgn]

Perché sto bisogno? E nn semplicemente $A/x^2+B/(x-1)$...

Perché altrimenti i conti non tornano!
Esiste un teorema algebrico che dice che sei vuoi scomporre un quoziente di polinomi in "fratti semplici" devi fare in quel modo ...
La cosa importante è che tu abbia capito il metodo e compreso la tabella con i quattro casi ... ok?

Cmq svolgendo integrali sorge il.dubbio su quale metodo conviene applicare? Per parti o sostituzione

... hai fatto una domanda da niente ... ... purtroppo, non è come con le derivate ... qui si devono conoscere più metodi possibili e capire come e quando usarli (pure insieme se necessario ...)

$int sqrt(x)*logx\ \ dx$

Integrando per parti poniamo $f(x)=sqrt(x)$ da integrare e $g(x)=logx$ da derivare ... quindi ...

$F(x)=int sqrt(x)\ \ dx=int x^(1/2)\ \ dx=2/3*x^(3/2)$
$g'(x)=1/x\ \ dx$

Ricomponiamo ...

$2/3*x^(3/2)*logx - 2/3*int x^(3/2)/x\ \ dx = 2/3*x^(3/2)*logx - 2/3*int x^(1/2)\ \ dx = 2/3*x^(3/2)*logx - 2/3*2/3*x^(3/2)$

Ok?

[Myriam92]

$ =-2int1/(x-2)-int1=-2ln|x-2|-x $
Se io nel tuo penultimo passaggio non avessi spostato il meno al denominatore, lasciandolo al numeratore mi avrebbe cmq costretta a cambiare il segno all'argomento del log...Mistero risolto ""
Però... Considerando che il testo era $int_-1^1 log(2-x) \dx\ $
Quindi $[xlog (2-x)-x-2log|x-2|]$ sostituendo risulta sempre $-3log3-2$ e non $log9-2$ cm dice la.soluzione...

$ int sqrt(x)*logx\ \ dx $
Qui avevo impostato correttamente allora, ma subito abbandonato perché vedevo radici che andavano svolte solo alla fine ed ero andata nel pallone... Pensando invece di risolvere così per sostituzione$sqrx=t, dx=2t*dt$ , e poi per parti ottenendo $x^2/8(logx-1)$
Non conviene ?/ È sbagliato?

Cmq premettendo che l'esercizio con l'area l'ho trovato uguale più avanti, con soluzione come la tua
Vorrei sapere in qst simile dove sbaglio..( a parte g(x) che dovrebbe risultare +1 )

Edit:
Per il metodo dei fratti sai cosa è che mi fa perdere? Che alcuni esercizi si risolvono col semplice metodo delle costanti, in cui il mio ragionamento qui vale. Forse per le solo equazioni di 2 grado però. Penso sai di che parlo : $ax²+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ entrambi questi ultimi valori vanno inseriti al denominatore di a e b. Finish! Perché non è sempre così immediato!? ( Domanda retorica tranquillo xD )

[axpgn]

Però... Considerando che il testo era $int_-1^1 log(2-x)\ dx\ $

Proviamo ...
Troviamo la primitiva per parti $int log(2-x)\ \ dx\ = x*log(2-x)- int -x/(2-x)\ \ dx\ = x*log(2-x)-x-2log|x-2| $

$F(a)=F(1)=1*log(2-1)-1-2log|1-2|=1*0-1-2*0=-1$

$F(b)=F(-1)=-1*log(2+1)+1-2log|-3|=-1*log3+1-2log3=1-3log3$

$F(a)-F(b)=-1-(1-3log3)=3log3-2$

Se l'integrale da calcolare è quello, la primitiva e questa soluzione sono corrette ...

[axpgn]

$ int sqrt(x)*logx\ \ dx $
Pensando invece di risolvere così per sostituzione$sqrx=t, dx=2t*dt$ , e poi per parti ottenendo $x^2/8(logx-1)$
Non conviene ?/ È sbagliato?

E il $logx$ come pensavi di eliminarlo? Quando sostituisci una variabile questa deve sparire completamente ($dx$ compreso)

Cmq premettendo che l'esercizio con l'area l'ho trovato uguale più avanti, con soluzione come la tua

Com'è buona Lei! ...

Vorrei sapere in qst simile dove sbaglio..( a parte g(x) che dovrebbe risultare +1 )

Mi confermi che l'integrale da risolvere è questo $-int_pi^(0) sin(x) + int_0^(2) x/2$ ?
Per l'integrale di sx ho messo il "meno" davanti perché essendo "sottostante" viene negativo e a noi serve positivo ...

$-[-cos(0)-(-cos(pi)]+[2^2/4-0^2/4]=-[-1-(-(-1))]+[1-0]=-[-1-1]+[1]=-[-2]+[+1]=2+1=3$

Mi pare che ci siamo ... ... (cmq, per l'area dei triangoli fai base per altezza diviso due ... )

[Myriam92]

E il logx come pensavi di eliminarlo? Quando sostituisci una variabile questa deve sparire completamente (dx compreso)

$x=t^2->logx=logt^2$

Com'è buona Lei! ...

I FantoCCi!

?
Per l'integrale di sx ho messo il "meno" davanti perché essendo "sottostante" viene negativo e a noi serve positivo ...

Onde evitare di invertire gli estremi dell'integrale, nn posso cambiare il segno direttamente al risultato alla fine ?( Mmm l'ho fatto e mi è risultato zero)
$-cos(pi)-[-[-cos(0)]=1-[1]$
Ma poi non so se si vede dal grafico, ma che io mi ricordi quei valori di pigreco su x, non sono positivi? Quel $-pi/2$ che ci fa là? È passato troppo tempo dai tempi delle disequazioni trigonometriche, spero di nn fare figuracce