dubbio limite

[lepre561]

$lim_(xto-infty)((x+4)/(x+2))^x$

avevo pensato scomporre $x+4$ in $x+2+2$

risultando
$(1+(2/(x+2)))^x$

sostituendo $x=2y$

$(1+(1/(y+1)))^(2y)$

ora il mio dubbio è il limite notevole è applicabile lo stesso anche se c'è $y+1$

[axpgn]

Il fatto è che il limite notevole è questo $lim_(f(x)->infty) (1+1/(f(x)))^f(x)$
A te pare che il denominatore sia uguale all'esponente? A me no ... devi fare la "manipolazione giusta" per farlo diventare come detto ...

[lepre561]

avevo pensato di aggiungere e sottrarre 1 all'esponente ...ma non credo conduca da qualche parte

[axpgn]

E se provassi ad elevare tutto alla "prima" cioè $a^1$? È equivalente, no? E ricordando che $1=(y+1)/(y+1)$

[Zero87]

Premetto che non ho capito il suggerimento di axpgn, beata ignoranza mia...

avevo pensato di aggiungere e sottrarre 1 all'esponente ...ma non credo conduca da qualche parte

Puoi aggiungere e sottrarre 2, perché no?
Se hai
$(1+\frac{1}{y+1})^(2y)$
ottieni
$(1+\frac{1}{y+1})^(2y+2-2)$ cioè $(1+\frac{1}{y+1})^(2y+2)\cdot (1+\frac{1}{y+1})^(-2)$ e infine $((1+\frac{1}{y+1})^(y+1))^2\cdot (1+\frac{1}{y+1})^(-2)$
dove, passando sotto al segno di limite, per la prima vale il limite notevole mente la seconda tende a 1.

EDIT. Forse ho capito il suggerimento di axpgn (che saluto). Meglio tardi che mai!

[axpgn]

Scusate ma noto solo ora che il limite è per "meno" infinito; il limite di Nepero vale lo stesso? Penso di no ...

Ti saluro anch'io

[Zero87]

Scusate ma noto solo ora che il limite è per "meno" infinito; il limite di Nepero vale lo stesso? Penso di no ...

Ti saluro anch'io

Ammetto che non avevo visto il segno meno, ma non mi trovi impreparato.
Dai lontani giorni del liceo ricordo che basta porre $t=-y$ e si ottiene
$((1+\frac{1}{y+1})^(y+1))^2$ --> $((1-\frac{1}{t-1})^(t-1))^(-2)$
con il cambiamento di variabile $t->+\infty$ e vale un limite notevole.

Pensavi di mettermi in crisi?

[axpgn]

No, per niente ... è proprio che non lo sapevo ... anche se devo ammettere che avevo intuito quello che hai scritto e per un attimo sono stato tentato di "lavorarci" sopra un pochino ... ma non ne avevo la minima voglia (co 'sto caldo, poi ...), tanto ero sicuro che saresti arrivato e avresti chiarito per bene

Cordialmente, Alex

[Zero87]

co 'sto caldo, poi ...

Caldo insopportabile...

Ricordavo comunque $lim_(f(x) \to +\infty) (1 \pm \frac{1}{f(x)})^(f(x)) = e^(\pm 1)$ e ricordavo anche che valesse per il $-\infty$ ma su questo non ero sicuro.
Pensando, però, alla sostituzione che ero abituato a fare al liceo e che ho riportato invece mi sa che è proprio così.

Cordialmente, Alex

Vista l'ora, buonanotte.

[caffeinaplus]

Il limite per avere $e$ può tendere ambo i versi dell'$oo$.
Non è invece vero che vale in modo cosi diretto $(1-1/(f(x)))^(f(x))$

Lo si fa valere con un innocuo trucchetto, però sarebbe (credo) poco istruttivo per l'autore del post non specificarlo, dato che già arranca sui limiti

$lim_(x->oo) [(1-1/(f(x)))^(-f(x))]^(-1)=e^(-1)$

In ogni caso, per risolvere il limite conviene manipolarlo cosi senza sostituzione

$((x+4)/(x+2))^x=[(x(1+4/x))/(x(1+2/x))]^x=[(1+1/(x/4))^(x/4)]^4*[(1+1/(x/2))^(x/2)]^(-2)$

E da qui passando al limite si ricava che il risultato è $e^2$