Esiste una classe di Curve nel cui perimetro/area figura almeno il pigreco?

[curie88]

Buona sera a tutti, ho provato a fare una ricerca sul web, ma non sono riuscito a trovare nulla riguardante la/le domanda/le del titolo e del corpo di questo messaggio.
Dovrebbe essere, eppure, una domanda piuttosto familiare per i matematici, se ahimè ha un minimo di senso...
Sapreste colmare queste seguenti mie lacune:
L-ellisse, la parabola, la circonferenza, le coniche in generale, nel loro perimetro è spesso(sempre?) presente $\pi$, in generale quale classe di curve lo contiene nel perimetro? Vale anche per l'area? Esistono curve il cui perimetro o l` area è sempre e solo multiplo di pigreco come numero trascendente? Ne esistono altre in cui può eventualmente figurare un altro numero trascendente?
Grazie per le eventuali risposte e buona Domenica sera a tutti.

[gugo82]

Dovresti chiarire meglio la domanda, così com’è non si capisce cosa vuoi.

Ad esempio, l’area di un’ellisse di semiassi $a,b>0$ è data da $pi a b$, ma il perimetro non è esprimibile elementarmente; stessa cosa per i settori parabolici, la cui area si può calcolare col teorema di Archimede, ma il cui perimetro non è proprio simpatico da esprimere elementarmente.

[curie88]

Buongiono gugo82 e ti ringrazio subito per la risposta, peraltro unica.
Forse commetto un errore, considerando i perimetri, della parabola e dell` ellisse, come multipli di $\pi$, e credo che tu me lo stia facendo notare avvertendomi che questi non sono esprimibili elementarmente.
Ricordavo però, ma forse male, che alcuni perimetri di suddette figure fossero multipli di $\pi$. Se ricordo male ti chiedo cortesemente di farmelo notare.
Tuttavia quello che a me interessa è sapere se esistono curve classificate in classi la cui area(a questo punto, in seguito al tuo intervento, parliamo di questa, visto che è sicuramente, almeno occasionalmente esprimibile come multiplo di $\pi$) è sempre, occasionalmente o ad esempio mai esprimibile come multiplo di $\pi$.
E chiaramente che nomi prendono queste classi, nel caso esistano.
Credo di essere stato eloquente stavolta. Buona giornata.

[gugo82]

La domanda ha davvero pochissimo senso.

Prendi un rettangolo di area $1$ ed applicagli una qualsiasi trasformazione affine con fattore di scala multiplo di $pi$. Le figure ottenute dal rettangolo usando tali trasformazioni hanno tutte area uguale al multiplo di $pi$ scelto.
Lo stesso puoi fare con qualsiasi altra figura dalla quale tu voglia cominciare.

[curie88]

La domanda ha davvero pochissimo senso.

Può anche darsi...ripongo la domanda nel modo più elementare e soprattutto più aderente a ciò che vorrei sapere.
Nel caso la domanda non trovi una risposta matematica, questo non significa che essa essa è insignificante, semmai poco utile dal punto di vista matematico. Solo in questa visione può essere o meno senza senso.

Prendi un rettangolo di area $1$ ed applicagli una qualsiasi trasformazione affine con fattore di scala multiplo di $pi$. Le figure ottenute dal rettangolo usando tali trasformazioni hanno tutte area uguale al multiplo di $pi$ scelto.

Intanto grazie per la risposta pertinente, la quale mi ha per l'appunto indirizzato sulla domanda che effettivamente volevo esprimere:

Si è vero: In questo caso i quadrati, avranno sempre area multipla di $\pi$; ma è anche vero che esistono quadrati, in cui l'area non è multiplo di $\pi$. Il semplice quadrato di area $4$, per esempio.
La domanda che mi pongo è allora: Esistono figure in cui non è possibile esprimere le loro aree, se non, solo ed esclusivamente attraverso il fattore moltiplicativo $\pi$?

Forse queste figure NON esistono, ed allora, terminiamo qui la discussione, perché non c' è più nulla da aggiungere.

Grazie, Buona giornata.

[gugo82]

Si è vero: In questo caso i quadrati, avranno sempre area multipla di $\pi$; ma è anche vero che esistono quadrati, in cui l'area non è multiplo di $\pi$. Il semplice quadrato di area $4$, per esempio.

Esattamente.
Ma vale anche il contrario. Ad esempio, considera i cerchi di raggio $sqrt(n/(mpi))$ e calcolane l’area o le circonferenze di raggio $n/(m pi)$ e calcolane il perimetro (in entrambi i casi considera $n, m in NN$ ed $n,m>=1$): cosa viene fuori?

La domanda che mi pongo è allora: Esistono figure in cui non è possibile esprimere le loro aree, se non, solo ed esclusivamente attraverso il fattore moltiplicativo $\pi$?

Posta così, la domanda è sempre priva di senso.

Prova a formalizzare meglio.
Cosa vuoi sapere?

[curie88]

Penso che tali figure esistano certamente, credo che in fondo le cose che non esistono siano la minoranza, e la loro inesistenza è da attribuire alla nostra scarsa capacità di fantasticare e alla nostra ignoranza.
Esistono se si ammettono tali figure come formate da singoli punti, cioè esse devono essere discontinue.
Per quanto riguarda il perimetro, ad esempio della circonferenza, credo, ma non ne sono troppo sicuro, che sia facile farsi un' idea di ciò che intendo, se consideriamo solo i punti di "discontinuità" (che sono però gli unici esistenti in tal caso, forse sarebbe più corretto dire i punti anti-discontinui) giacenti per esempio sul perimetro di essa, che siano individuabili attraverso una rotazione della e sulla retta polare per esempio di raggio $1$, che abbiano per l'appunto, come distanza circolare(perimetrale), cioè lungo l'arco che comincia la sua rotazione(ad esempio antioraria) a partire dall' asse delle ascisse e termina la dove incontra via via i multipli di $\pi$, ed in corrispondenza di tali multipli si può tracciare un punto.
E' vero che taluni considerano i punti come entità prive di estensione, ma questa è solo una rappresentazione; in realtà credo che i punti ci sono per quanto la loro estensione possa sembrare infinitesimale.

[gugo82]

Grazie per non aver risposto, per la seconda volta, alla richiesta di chiarimenti.

Permettimi un appunto: quando qualcuno ti chiede chiarimenti, il più delle volte non vuole leggere elucubrazioni varie ed eventuali infarcite di “gergo tecnico” usato alla sonfrasò; bensì vorrebbe vedere una richiesta formalizzata in modo intellegibile, per aiutarti a trovare le risposte alle tue domande.

Moderatore: gugo82

Detto ciò, chiudo.

Se lo OP ha voglia di formalizzare in maniera matematicamente adeguata la richiesta, può farlo aprendo un altro thread.