Verifica limite disequazione

Messaggioda Cyntax » 14/08/2019, 10:38

Salve, ho alcune difficoltà nel verificare il limite con le frazioni:

$lim_(x->1)(1/(x+2))=1/3$

Partendo dalla definizione riesco a impostarlo fino a
$ lim $ $abs((-x+1)/(3(x+2)))<epsilon$

Il problema consiste nel fatto che nel primo sistema ottengo:
-numeratore: $x<((1-6epsilon)/(1+3epsilon))$
-denominatore: $x> -2$

Fin qui tutto corretto?
Come risolvo questo studio dei segni?
Grazie
Cyntax
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Re: Verifica limite disequazione

Messaggioda caffeinaplus » 14/08/2019, 16:13

Vediamo un po se riusciamo a rispolverare queste cose :-D

Allora, dalla definizione di limite finito che tende a un numero finito si sa che $x$ è in un intorno a piacere di $1$.

Infatti $AAepsilon>0 EE delta>0: |x-x_0|<delta \rarr |f(x) - l | < epsilon$
che per noi è $AAepsilon>0 EE delta>0: |x-1|<delta \rarr |1/(x+2) -1/3|<epsilon$

con qualche somma si ha che \begin{cases} x(3\epsilon-1)>-1-6\epsilon \\ x(3\epsilon+1)>1-6\epsilon\end{cases}

Ma il coefficiente della x nel primo caso è negativo, allora si cambia di segno e si ha

$(1-3\epsilon)<1+6epsilon<x<(1+6epsilon)/(1-3epsilon)$

Che per valori di $epsilon$ abbastanza piccoli soddisfa quanto richiesto :-D

Da qui si ricava che $(1-6epsilon)/(1+3epsilon)$
caffeinaplus
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Re: Verifica limite disequazione

Messaggioda @melia » 14/08/2019, 19:42

Non capisco tutti i passaggi di caffeinaplus, forse manca qualcosa.
In ogni caso dal sistema
$\{((1-x)/(3(x+2))<epsilon),((1-x)/(3(x+2))> -epsilon):}$ per risolvere le disequazioni fratte devi
1. fare attenzione ai coefficienti della $x$ come ti ha fatto notare caffeinaplus
2. ricorrere ai completamenti $(1-6epsilon)/(1+3epsilon)=(1+3epsilon-9epsilon)/(1+3epsilon)=(1+3epsilon)/(1+3epsilon)-(9epsilon)/(1+3epsilon)=1-(9epsilon)/(1+3epsilon)$ che è un po' meno di 1, e

$(1+6epsilon)/(1-3epsilon)=(1-3epsilon+9epsilon)/(1-3epsilon)=(1-3epsilon)/(1-3epsilon)+(9epsilon)/(1-3epsilon)=1+(9epsilon)/(1-3epsilon)$ che è un po' più di 1.

3. Puoi anche osservare che per $0<epsilon<1/3$ il problema è verificato, e lo scopo della verifica di limite è che questo funzioni $AAepsilon>0$ e piccolo a piacere.
Sara Gobbato

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Re: Verifica limite disequazione

Messaggioda Cyntax » 16/08/2019, 11:08

@melia ha scritto:Non capisco tutti i passaggi di caffeinaplus, forse manca qualcosa.
In ogni caso dal sistema
$\{((1-x)/(3(x+2))<epsilon),((1-x)/(3(x+2))> -epsilon):}$ per risolvere le disequazioni fratte devi
1. fare attenzione ai coefficienti della $x$ come ti ha fatto notare caffeinaplus
2. ricorrere ai completamenti $(1-6epsilon)/(1+3epsilon)=(1+3epsilon-9epsilon)/(1+3epsilon)=(1+3epsilon)/(1+3epsilon)-(9epsilon)/(1+3epsilon)=1-(9epsilon)/(1+3epsilon)$ che è un po' meno di 1, e

$(1+6epsilon)/(1-3epsilon)=(1-3epsilon+9epsilon)/(1-3epsilon)=(1-3epsilon)/(1-3epsilon)+(9epsilon)/(1-3epsilon)=1+(9epsilon)/(1-3epsilon)$ che è un po' più di 1.

3. Puoi anche osservare che per $0<epsilon<1/3$ il problema è verificato, e lo scopo della verifica di limite è che questo funzioni $AAepsilon>0$ e piccolo a piacere.


Grazie ad entrambi, provando da solo ero riuscito ad arrivare alla soluzione $(1-6epsilon)/(1+3epsilon)<x<(1+6epsilon)/(1-3epsilon)$ che poi facendo la verifica si scopriva che era un intorno di 1.

Non ho ben capito come funzionano i completamenti, non li ho mai affrontanti (o non li ricordo?), da quel che posso notare si tratta di $1-(1-X/Y)$, così posso notare che è un intorno di 1, ma se fosse dovuto essere un intorno di Z?
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Re: Verifica limite disequazione

Messaggioda @melia » 17/08/2019, 10:18

In teoria si tratta di fare una divisione tra polinomi, in modo da avere un resto infinitesimo con $epsilon$, ad esempio
$(a+b epsilon)/(c+d epsilon)$ diventa $(a/c(c+depsilon)-(ad)/c epsilon+b epsilon)/(c+d epsilon)$ da cui $a/c+((b-ad) epsilon)/(c+d epsilon)$
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