Difficoltà nella risoluzione di un limite

Messaggioda Frax22 » 06/02/2020, 12:34

Ciao ragazzi, sto studiando una funzone e sono arrivato allo studio dei limiti per trovare gli eventuali asintoti, non sono presenti nè asintoti verticali nè orizzontali.

La funzione è: $ f(x) = xsqrt(1+2/x) $

Ora stavo cercando di trovare gli eventuali asintoti obliqui e ho trovato il valore di m=1 sia per +infinito che per -infinito, adesso stavo cercando di trovare q ma non riesco a risolvere questo limite. Ho provato sia la razionalizzazione che de l'hopital, ho anche provato a portare all'interno della radice la x, ma niente. Il risultato secondo lo svolgimento dell'appello è 1.

Spero possiate aiutarmi, grazie in anticipo, lascio qui il limite:

$ lim xrarr +oo (xsqrt(1+2/x)-x) $
Frax22
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Re: Difficoltà nella risoluzione di un limite

Messaggioda BayMax » 06/02/2020, 18:07

Ciao @Frax22 !

Provo a risponderti. Come hai detto tu il valore di m è 1 sia per asintoto obliquo destro che sinistro. Ora andiamo a risolvere $lim_(x->infty)(xsqrt(1+2/x)-x)$.
Ti assicuro che si risolve anche con De l'Hopital, riscrivendolo nella forma $infty/infty$ o $0/0$, ad esempio come $lim_(x->infty)(xsqrt(1+2/x)-x)=lim_(x->infty)(x(sqrt(1+2/x)-1))=lim_(x->infty)(sqrt(1+2/x)-1)/(1/x)$. Ad ogni modo c'è un metodo più rapido e cioè la razionalizzazione:
$lim_(x->infty)(xsqrt(1+2/x)-x)=lim_(x->infty)((xsqrt(1+2/x)-x)*(xsqrt(1+2/x)+x))/(xsqrt(1+2/x)+x)=lim_(x->infty)(x^2(1+2/x)-x^2)/(x(sqrt(1+2/x)+1))=lim_(x->infty)(x^2+2x-x^2)/(x(sqrt(1+2/x)+1))=lim_(x->infty)(2x)/(x(sqrt(1+2/x)+1))=1$.

Spero di esserti stato d'aiuto. Per altri chiarimenti non esitare a chiedere. Se ti interessa posso anche postare i passaggi con De l'Hopital.

Saluti ! :smt039 :smt039

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Re: Difficoltà nella risoluzione di un limite

Messaggioda Dlofud » 12/02/2020, 14:52

Scusa BayMax, riusciresti a spiegarmi l'ultimo passaggio durante la razionalizzazione?

Io non riesco a "sbloccare" il denominatore, che mi risulta sempre infinito per 2, uhm.
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Re: Difficoltà nella risoluzione di un limite

Messaggioda @melia » 13/02/2020, 22:29

Sbloccare? Ha solo semplificato la x con quella a numeratore.
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