Formule goniometriche, Addizione-Sottrazione

[giammaria]

Il tuo inizio non porta da nessuna parte: come continui? Usa invece le formule di somma a numeratore e fai i calcoli. Se vuoi, puoi scomporre prima col prodotto notevole ma la lunghezza cambia poco.

[Bad90]

Il tuo inizio non porta da nessuna parte: come continui? Usa invece le formule di somma a numeratore e fai i calcoli. Se vuoi, puoi scomporre prima col prodotto notevole ma la lunghezza cambia poco.

Si ho avuto modo di constatare che non porta a nessuna parte! Sono riuscito a risolvere iniziando con il portare il numeratore come prodotto notevole $A^2-B^2= (A-B)(A+B) $ e poi con le solite formule di addizione ecc......

[Bad90]

Sto trovando problemi con il seguente:

$ (1+cos2alpha)^2 + sen^2 2alpha $

Ho provato a sviluppare il quadrato di un binomio del primo membro a sinistra, ma nn sono riuscito a risolverlo....
Per il secondo membro ho provato a pensarla in questo modo:

$ sen^2 (alpha +alpha) = 2 sen^2 alpha cos^2 alpha $

Ma non sono riuscito a risolverlo!
Cosa posso fare?

[giammaria]

$=1+2cos 2alpha+cos^2 2alpha+sin^2 2alpha=1+2cos 2alpha+1=2(1+cos 2alpha)$
ed ora si può continuare con
$=2(sin^2 alpha +cos^2 alpha+cos^2 alpha-sin^2 alpha)=4cos^2 alpha$
oppure, usando a rovescio la formula di bisezione del coseno, con
$=2*2cos^2 alpha=4cos^2 alpha$

La tua ultima formula contiene un errore:
$sin^2 2 alpha=(2sin alpha cos alpha)^2= 4 sin^2 alpha cos^2 alpha$

[Bad90]

Io credevo che si poteva fare in questo modo, intendo per il quadrato di un binomio:

$ (1+cos2alpha)^2= 1+2cos2 alpha+ cos^2 4alpha $

Insomma, nel quadrato di un binomio con le funzioni seno e coseno, nelle circostanze tipo il mio esempio, non si eleva al quadrato anche il $ (2alpha)^2 = 4alpha $

[giammaria]

No, non c'è nessun motivo per moltiplicare per 2 l'argomento. Quello che viene è $(cos2 alpha)^2=cos^2 2alpha$.
Inoltre $(2alpha)^2=4 alpha^2$.

[Bad90]

No, non c'è nessun motivo per moltiplicare per 2 l'argomento.

Adesso e' chiaro! Ok!
Mentre per quanto riguarda:

$ cos^2 2alpha +sen^2 2alpha =1 $

E' chiaro che si tratta di una circonferenza....., ok, ma cosa si ga per semplificare l'argomento $ 2alpha $
Perche' se la circonferenza e':

$ cos^2 alpha + sen^2 alpha= 1 $

come bisogna pensare quando si ha:

$ cos^2 2alpha + sen^2 2alpha= 1 $

Grazie mille!

[giammaria]

Puoi sempre pensare di avere una circonferenza in cui l'angolo è $2 alpha$ e non il semplice $alpha$. La prima formula fondamentale si può intendere dicendo che se seno e coseno hanno lo stesso argomento, la somma dei loro quadrati è 1. Ad esempio
$sin^2((x^2-3)/(x+1))+ cos^2( (x^2-3)/(x+1))=1$

[Bad90]

Ok!

[Bad90]

Ma se mi trovo in un caso del genere:

$ (-4 sen^2 alpha)/(cosalpha sqrt(2) - senalpha sqrt(2)) $

Come devo razionalizzare?
Posso fare in questo modo?

$ (-4 sen^2 alpha)/(cosalpha sqrt(2) - senalpha sqrt(2))*1/(sqrt(2)) $

e poi continuando .....