limiti e punti isolati

[marcus112]

Osservazione:
se $c$ è un punto isolato del dominio di una funzione $f(x)$, non ha alcun senso calcolare il limite di $f(x)$ per $x->c$. In questo caso è solo possibile calcolare $f(x)$.
Qualcuno mi può fare un esempio....

[Palliit]

Ciao. Considera : $f(x)=sqrt(-|sin x|)$ , ha dominio $D={k pi}$ $forall k in ZZ$ , costituito da soli punti isolati; è privo di senso qualsiasi limite di $f(x)$ per $x rightarrow k pi$, mentre è chiaramente: $f(k pi)=0$.

[Gendarmevariante]

Basta che prendi una qualsiasi funzione e togli dal dominio un intervallo, lasciando solo un punto in mezzo: ad esempio
$f(x) = { ( x^2 ),( 51 ),( x^2 ):} |( per x<2), (per x=3), (per x>4)| $ definita sul dominio $D=(-infty,2)uu{3}uu(4,+infty)$

Questa funzione è una parabola che si interrompe fra 2 e 4, tranne in un solo punto x=3 in cui assume il valore 51. Il punto x=3 è isolato, perché se prendi ad esempio il suo intorno $(3-1/2, 3+1/2)$ non trovi dentro nessun altro punto del dominio oltre a 3. Capisci quindi che non ha senso parlare di limite per x che tende a 3, perché non sappiamo affatto come si comporta la funzione attorno a quel punto, dato che questa lì non esiste! (ricorda che il limite ti dice "dove sta andando" la funzione attorno ad un punto, non importa cosa succede nel punto stesso!).

[marcus112]

altro chiarimento...la definizione di continuità di una funzione in un punto $c$ può essere estesa al caso in cui il punto $c$ è soltanto un punto di accumulazione del dominio e appartiene a esso.
Nei casi più comuni $c$ è un punto di un intervallo in cui la funzione è definita.
Nel caso si tratti di un punto isolato si pone per definizione che la funzione è continua in $c$
Intuitivamente penso di aver capito, ma come posso esplicitare con un esempio concreto?
grazie per la collaborazione

[Palliit]

Nel caso si tratti di un punto isolato si pone per definizione che la funzione è continua in $c$

Mi trovi in totale disaccordo. L'impossibilità di definire il limite per $x rightarrow c$ di una funzione sancisce l'impossibilità di affermare la continuità della stessa in $x=c$.
Se $c$ è un punto isolato del dominio di $f$, il limite per $x rightarrow c$ della funzione non ha senso e quindi la funzione non è continua in $x=c$, malgrado esista $f(c)$. Cosa che, tra l'altro, è in completa coerenza con l'interpretazione grafica del concetto di continuità di una curva.

[marcus112]

Quindi se si parla di continuità di una funzione i punti coinvolti sono naturalemente i punti di accumulazione...

ma su alcuni libri che ho letto si dice anche che se
$c$b è un punto isolato si pone per definizione (su di un libro)o per convenzione(sull'altro libro che la funzione è continua in $c$
Quindi io dovrei dire che è sbagliato quello che hanno scritto...ho c'è qualcosa che va interpretata e che io non capisco!

grazie

[Palliit]

Per curiosità: che libri sono? Perchè in effetti l'ho trovata anch'io (sul web) come descrizione, e la cosa mi lascia francamente perplesso... Anzi credo proprio di star sbagliando e mi piacerebbe che qualcuno che ne sa più di me mi/ci illuminasse.

[marcus112]

Moduli di lineamenti di matematica per il triennio dei licei scientifici e su di un altro dove invece usano l'espressione per convenzione.
Se rifletti su

$f(x)=sqrt(-|sin x|)$ , ha dominio $D={k pi}$ $forall k in ZZ$ , costituito da soli punti isolati; è privo di senso qualsiasi limite di $f(x)$ per $x rightarrow k pi$,(Infatti questo limite da sempre 0) mentre è chiaramente: $f(k pi)=0$.

Il limite per un punto isolato esiste, non si può però applicare la definizione di funzione continua, applicabile, però, ai punti di accumulazione.
Questo è quello che capisco io...fammi sapere

[Seneca]

@Palliit: Con la definizione di continuità vera e propria, ovvero quella $\epsilon , \delta$, la funzione risulta continua in un punto isolato. Infatti, detto $x_0$ tale punto, comunque scegli un $\epsilon$-intorno di $f(x_0)$, esiste un $\delta$-intorno di $x_0$ tale che in esso non ci sono punti del dominio distinti da $x_0$ (definizione di punto isolato). Vedi facilmente che questo $\delta$-intorno (che in realtà non dipende da $\epsilon$) soddisfa la definizione di continuità.

[theras]

@Seneca.
Nella definizione di continuità che ho in mente io è imprescindibile la condizione $x_0 in X nn DX$,
e dunque son portato a sposare la versione di Palliit
(migliore di quella di Barney ..sopratutto in merito all'interpretazione grafica,
perchè mi risulta alquanto dura parlare di "piccoli spostamenti" delle ascisse intorno ad un punto isolato!):
apriamo un bel dibattito tra scuole diverse o ppure stabiliamo,per convenzione(o amor di pace che dir si voglia ,)che
$f$ è continua in $x_0hArrAAepsilon inRR^+$ $EEdelta_(epsilon)" t.c. "|f(x)-f(x_0)|<epsilon$ $AAx in X'=I(x_0,delta_(epsilon)) nn domf$,
e non,come probabilmente abitudine comune di Palliit e mia,$X'=I(x_0,delta_(epsilon)) nn domf setminus{x_0}$?
Saluti dal web.