limiti e punti isolati

[Palliit]

@Seneca: intanto grazie per la risposta. Il problema (mi pare di capire, anche in relazione alle abitudini comuni a me e @theras) sia che di definizioni di continuità se ne trovano differenti, oltre a quella (se non sbaglio dovuta a Cauchy) che tu indichi come vera e propria. Sul Geymonat (analisi I) il problema viene di fatto aggirato definendola in termini analoghi (cioè con $epsilon, delta$ ) ma specificando che il punto $x_0$ deve appartenere ad un intervallo non ridotto ad un solo punto, evitando quindi di dire alcunchè nel caso di punti isolati e quindi lasciando aperto il dubbio; in parecchi casi la definizione che si trova richiama il limite per $x rightarrow x_0$, il che (in questo divergo rispetto all'opinione di @marcus112) impedisce di definire continua una funzione nel caso che $x_0$ sia isolato e pertanto non esista il limite. E' peraltro la definizione, quella che fa riferimento al limite, che molti libri di testo delle superiori adottano (penso ad esempio al Dodero)

@marcus112: la definizione che io ricordo di limite uguale ad $l$ per $x rightarrow x_0$ prevede che la disuguaglianza (1) $|f(x)-l|<epsilon$ sia verificata in un opportuno intorno $U(x_0)$ da cui dev'essere escluso il punto $x_0$ stesso (qualcuno lo chiama intorno bucato) ; inoltre è richiesto, sempre per la definizione, che $x_0$ sia un punto di accumulazione del $Dom(f)$: ciò nel caso che $x_0$ sia isolato porta all'impossibilità di verificare la (1) in quanto in un "intorno bucato" di ampiezza opportunamente piccola $f(x)$ non è definita.

Saluti a tutti

[Seneca]

A me sembra meglio assumere una definizione che non lasci ambiguità di quel tipo.

Il motivo per cui i testi di liceo non danno definizioni di continuità nel caso dei punti isolati è (a mio avviso) perché al liceo solitamente le funzioni che si studiano sono definite su un intervallo non degenere.

[Palliit]

@Seneca: sono in completo accordo con entrambe le affermazioni del tuo ultimo post. E a questo punto anche sul fatto che la definizione di continuità si debba estendere anche ai punti isolati, per quanto la cosa sia controintuitiva.

[theras]

Beh,ragazzi,permettetemi di dissentire:
per i discorsi controintuitivi i tempi devon essere maturi
(che significa solo che trovo inopportuno usare quella definizione "forzata" a Scuola Superiore,
perchè metterebbe lo studente in difficolta nel primo,tradizionale ed indispensabile,approccio "grafico" al concetto..)!
Più avanti negli studi son d'accordo che quella "forzatura" possa,ed in certi casi "debba",esser fatta
(per completezza,anche se lascia il tempo che trova,
vi dico però che in testi quali il Caponnetto-Catania la definizione sottointende che $x_0 in DX$..):
ma sicuri che non può generare confusione,al primo approccio con l'Analisi Infinitesimale?
Saluti dal web.

[marcus112]

A parte tutta la teoria...che nel mio caso lascia dubbi....posso vedere un esempio concreto
della definizione se $c$ è un punto isolato del dominio di una funzione si pone per convenzione o definizione che la funzione è continua i $c$ e quindi poter dimostrare che è anche così.

[tetravalenza]

apriamo un bel dibattito tra scuole diverse o ppure stabiliamo,per convenzione(o amor di pace che dir si voglia ,)che
$f$ è continua in $x_0hArrAAepsilon inRR^+$ $EEdelta_(epsilon)" t.c. "|f(x)-f(x_0)|<epsilon$ $AAx in X'=I(x_0,delta_(epsilon)) nn domf$,
e non,come probabilmente abitudine comune di Palliit e mia,$X'=I(x_0,delta_(epsilon)) nn domf setminus{x_0}$?
Saluti dal web.

Ciao, scusate se riprendo questa vecchia discussione, ma stavo leggendo il paragrafo "Punti di Discontinuità" di S. Lancelotti, dove appunto si afferma che "...affinché un punto $x_0$ sia di discontinuità per una funzione $f$, necessariamente $x_0$ deve appartenere a dom($f$) e deve essere un punto di accumulazione per dom($f$), dato che $f$ è continua nei punti isolati del suo dominio".
Non capivo all'inizio molto bene la questione allora ho cercato qui sul forum. Se io prendo
\[
X'=I(x_0,\delta_{\epsilon})\cap \text{dom}(f)=\lbrace x_0\rbrace
\]
risolvo: $|f(x_0)-f(x_0)|<epsilon$ e $|x_0-x_0|<delta|$ prendo per esempio delta uguale ad epsilon e la condizione della definizione di continuità è soddisfatta, è corretto?
Prendendo spunto dalla funzione di Dirichlet questa funzione va bene come esempio di continuità in punti isolati? La funzione di Dirichlet però non è continua.
\[
f(x)=1, x\in N
\]

[axpgn]

Se cerchi nel forum troverai varie discussioni in merito, tra le quali questa bella e chiara di gugo82.

[tetravalenza]

OK grazie

[Zero87]

Moderatore: Zero87

Tutto bene quel che finisce bene, chiudo questo necropost.

Se serve qualcosa, @tetravalenza, apri un'altra discussione oppure scrivi in privato al sottoscritto (o a un altro mod) per farti spostare questi ultimi messaggi. In realtà pensavo in partenza di scindere la discussione, ma se le cose si sono risolte così, chiudo e basta.

Buon fine settimana, forumisti.