Identita' goniometriche

[Bad90]

[Zero87]

[-(

Cos'è successo? Ho fatto/detto qualcosa di sbagliato?

Se sì, scusami, non era mia intenzione.

[Bad90]

Cos'è successo? Ho fatto/detto qualcosa di sbagliato?

Se sì, scusami, non era mia intenzione.

No, no , e io che non sto riuscendo a capire quel concetto che mi stai dicendo
Gentilmente, potresti farmi vedere come fai a risolvere questa

$cos(\alpha)=2cos^2(\alpha/2)-1$

Non ci sto arrivando da solo

[Zero87]

Allora, partiamo dalla formula della duplicazione che è
$cos(2x)=2cos^2 (x)-1$
(l'ho rivista su wikipedia )

Ci sono più modi per esprimerla, però va bene quello (con gli altri vale lo stesso).

Ora, se a $x$ sostituisco $\alpha/2$ ottengo
$cos(2\cdot \frac{\alpha}{2})=2cos^2 (\alpha/2)-1$,
cioè
$cos(\alpha)=2cos^2 (\alpha/2)-1$.

Una tale sostituzione posso farla perché nella formula di duplicazione (e nelle altre), l'unico requisito è "$x=$ un angolo".

Se non ti senti sicuro, i passaggi intermedi falli tutti. Quando, però, hai acquisito una tale sicurezza da fare in modo che questa sostituzione sia "mentale", magari puoi anche evitarli (non perché sbagliati ma perché qualche professore potrebbe "storcere" il naso ).

[Bad90]

Allora, partiamo dalla formula della duplicazione che è
$cos(2x)=2cos^2 (x)-1$
(l'ho rivista su wikipedia )

Ci sono più modi per esprimerla, però va bene quello (con gli altri vale lo stesso).

Ora, se a $x$ sostituisco $\alpha/2$ ottengo
$cos(2\cdot \frac{\alpha}{2})=2cos^2 (\alpha/2)-1$,
cioè
$cos(\alpha)=2cos^2 (\alpha/2)-1$.

Una tale sostituzione posso farla perché nella formula di duplicazione (e nelle altre), l'unico requisito è "$x=$ un angolo".

Se non ti senti sicuro, i passaggi intermedi falli tutti. Quando, però, hai acquisito una tale sicurezza da fare in modo che questa sostituzione sia "mentale", magari puoi anche evitarli (non perché sbagliati ma perché qualche professore potrebbe "storcere" il naso ).

Accipicchia, hai ragione

[Bad90]

Ritornando sull'esercizio....
$ cosec^2 alpha/2 + cotg^2 alpha/2 = (cos alpha +3)/(1- cos alpha) $

Arrivo al seguente punto:

$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $

Allora al secondo membro potrò fare in questo modo:

$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos (2*alpha/2) + 3)/(1- cos ((2*alpha)/2)) $

[Zero87]

$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $

Bene .
Quindi prova a esprimere $cos^2 (\alpha/2)$ in termini di $cos(\alpha)$.

Per carità, puoi anche esprimere $cos(\alpha)$ in termini di $cos(\alpha/2)$ al secondo membro, non è sbagliato. Però prova ad applicare quanto abbiamo detto.

[Bad90]

Quindi prova a esprimere $cos^2 (\alpha/2)$ in termini di $cos(\alpha)$.

Per carità, puoi anche esprimere $cos(\alpha)$ in termini di $cos(\alpha/2)$ al secondo membro, non è sbagliato. Però prova ad applicare quanto abbiamo detto.

Allora:
$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $


$ (1+cos^2 alpha)/(sen^2 alpha)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $

[Zero87]

Allora:
$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $


$ (1+cos^2 alpha)/(sen^2 alpha)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $

Calma, calma, niente conclusioni affrettate.

Ricordati di queste ultime due pagine e della formula $cos(\alpha)=2cos^2 (\alpha/2)-1$.

EDIT.

So che non dovrei perché dovresti arrivarci tu, però abbiamo discusso tanto in queste ultime 2 pagine riguardo alle formula di duplicazione e di come applicarle. Prima di andare a dormire ti lascio questo accenno di risoluzione (vale una cosa simile - con i dovuti accorgimenti - per il $sin^2 (\alpha/2)$ al denominatore nel primo membro).

$1+cos^2 (\alpha/2) =1+(1+cos(\alpha))/2=\frac{3+cos(\alpha)}{2}$
nella quale ho applicato la formula di cui abbiamo lungamente discusso.

Lascio a te un'interpretazione "simile" per quanto riguarda il $sen^2 (\alpha/2)$ al denominatore. Ovviamente devi tenere a mente tutto quello che si è detto a riguardo delle formule di duplicazione. Non servono solo per passare da $\alpha$ a $2\alpha$ ma vanno bene per passare da qualsiasi angolo al suo doppio (quindi anche da $\alpha/2$ a $\alpha$).

'Notte