Equazioni goniometriche elementari

[Bad90]

Esercizio 11

Ecco, in questo che segue penso che abbia pensato che o una o l'altra soluzione sia la stessa Per questa non ho fatto le prove che mi hai detto, perchè ho dato per scontato che fossero le stesse, ecco quì:

$ cos(2x + 30) = -1/2 $

Il testo mi dice che le due soluzioni sono:

$ x = 45^o + k180^o $ e $ x = -75^o + k180^o $

Nella mia soluzione ho fatto nel seguente modo:

$ 2x + 30 = +-(-60^o) + k 180^o $

$ x_1 = -45^o + k180^o $ e la seconda $ x_2 = 75^o + k180^o $

Ma effettivamente hanno lo stesso significato, quindi pe me è una conferma che ho fatto bene!

[Bad90]

Esercizio 12

In questa che segue, non mi sto trovando con il risultato del testo, allora provo ad utilizzare il primo metodo che mi ha consigliato giammaria.

$ cos (3x -15^o) = -cos(2x + 5^o) $

Il primo metodo, prevede questo:

Primo metodo (valido sempre ma un po' lungo da applicare)
Prendi la soluzione che hai ottenuto e dai a $k$ un po' di valori (se hai $x_1$ ed $x_2$ fallo per entrambe), poi fai altrettanto con la soluzione del libro: se ottieni gli stessi numeri siete d'accordo. Qualche numero, tuo o del libro, può corrispondere a valori negativi di $k$.

Risoluzione

$ cos (3x -15^o) = cos[-(2x - 5^o)] $

$ cos (3x -15^o) = cos[-2x + 5^o] $

$ 3x -15^o = +-[-2x + 5^o]+k360^o $

Prima soluzione:

$ 3x -15^o = -2x + 5^o + k360^o $

$ 5x = 20^o + k360^o $

$ x = 4^o + k72^o $

Mentre il testo mi dice che deve essere $ x = 40^o + k72^o $

Seconda soluzione:

$ 3x -15^o = -[-2x + 5^o]+k360^o $

$ 3x -15^o = 2x - 5^o + k360^o $

$ x = 10^o + k360^o $

Mentre il testo mi dice che deve essere $ x = -170^o + k360^o $

[chiaraotta]

Esercizio 11
$ cos(2x + 30) = -1/2 $
...

$ 2x + 30 = +-(-60^o) + k 180^o $
...

No,
$cos(2x + 30) = -1/2$
se
$2x+30°=+-120°+k360°$,
e non
$2x+30°=+-(-60°)+k180°$.

Quindi
1) $2x+30°=+120°+k360°->2x=90°+k360°->x=45°+k180°$,
2) $2x+30°=-120°+k360°->2x=-150°+k360°->x=-75°+k180°$.

[chiaraotta]

Esercizio 12
$ cos (3x -15^o) = -cos(2x + 5^o) $
$ cos (3x -15^o) = cos[-(2x - 5^o)] $
..

No, non è vero che
$ -cos(2x + 5^o)=cos[-(2x - 5^o)] $.

[Bad90]

No,
$cos(2x + 30) = -1/2$
se
$2x+30°=+-120°+k360°$,
e non
$2x+30°=+-(-60°)+k180°$.

Scusa ma perchè $ +-120^o $ e non $ +-60^o $

Alla fine sono dei multipli e mi sembra che sia lo stesso
Perchè è sbagliato come ho fatto io
Ok, che $ 120^o $ mi porta nel secondo quadrante e quindi l'argomento è negativo, ma non si potrebbe dare per buono il mio risultato

[chiaraotta]

Scusa ma perchè $ +-120^o $ e non $ +-60^o $

Alla fine sono dei multipli e mi sembra che sia lo stesso
Perchè è sbagliato come ho fatto io

Perché
$cos(+-60^o)=1/2$,
e invece
$cos(+-120^o)=-1/2$

[Bad90]

No, non è vero che
$ -cos(2x + 5^o)=cos[-(2x - 5^o)] $.

Perchè non è vero
Il testo mi fa vedere un esempio in cui dice che per gli angoli opposti, da questa:

$ sen3x=-sen(x - 90^o) $

si arriva a questa:

$ sen3x=sen[-(x - 90^o)]$

$ sen3x=sen[90^o - x]$

[Bad90]

Perché
$cos(+-60^o)=1/2$,
e invece
$cos(+-120^o)=-1/2$

Ok, non vi è un'alternativa!

Ti ringrazio!

[chiaraotta]

Infatti è vero che
$-sen(x - 90^o)=sen[-(x - 90^o)]$
mentre invece non è vero che
$-cos(x - 90^o)=cos[-(x - 90^o)]$.

Questo nasce dal fatto che
$sen(-alpha)=-sen(alpha)$
e invece
$cos(-alpha)=cos(alpha)!=-cos(alpha)$.

[giammaria]

Ti propongo tre esercizi che possono aiutarti a capire il secondo metodo. Scrivo tre soluzioni; riportale sul cerchio goniometrico e, osservando la figura, dimmi in quale altro modo il libro può scriverle (può esserci più di una risposta).
A) $0°+k*360° vv+-120°+k*360° $
B) $+-30°+k*360° vv +-150°+k*360° $
C)$+-45°+k*360° vv+-135°+k*360° $

Per gli esercizi 11 e 12, chiaraotta ti ha già mostrato il tuo errore: quando c'è un coseno ed un segno meno, non si può portare il meno dentro al coseno perché in generale $-cos alpha!=cos(-alpha)$ e bisogna invece ricorrere all'associato del primo o del terzo quadrante, così:
$-cos alpha =cos(180°-alpha)$ oppure $-cos alpha =cos(180°+alpha)$
Per l'11 aggiungo una cosa che spesso lascia sconcertati gli allievi: potevi scrivere
$3x-15=+-(180°-60°)+k*360°$
che è quello che ha fatto chiaraotta, ma potevi anche scrivere
$3x-15=180°+-60°+k*360°$
Non so quale formula ti suggerisce il libro ma sono entrambe giuste: riporta sul cerchio goniometrico i due secondi membri e te ne convincerai.