Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

[Bad90]

E si! E allora come posso giustificare il risultato?

[Zero87]

E si! E allora come posso giustificare il risultato?

Bene, dunque hai capito che il mio post di prima era per arrivare a questo risultato che, poi, mi hai detto che sai.

Comunque, come puoi giustificarlo?

Semplicemente osservando che, in
$(cos(x)-1)^2 >0 $
il primo membro è un quadrato... dunque - a prescindere dalle funzioni che ci compaiono $^1$ - è sempre "non negativo".
Se ci fosse stato il $\ge$ sarebbe sempre verificata, ma - essendoci il $>$ - non è proprio così, dunque...

_____
$^1$Ovviamente occorre che siano definite, ma in questo caso non c'è nessun problema per campi di esistenza e/o altro.

[giammaria]

... non sto capendo il perche' se ho la periodicita' ............ al primo membro, devo poi riportarla al terzo membro?????

Non è che devi riportarla; viene per i fatti suoi. E deve venire perché ogni intervallo ha un inizio ed una fine e ripete entrambi ogni periodo; non ha senso dire che l'inizio si ripete dopo un giro e la fine dopo mezzo giro. Sarebbe come dire che vai a dormire alle 23 di ogni giorno e ti svegli alle 7 sia del mattino che della sera.

Esercizio 1) La tua prima soluzione ve bene ma è sbagliata la seconda, cioè $-30°+k*360°<x<210°+k*360°$: nel suo interno c'è anche $x=0$ che non va bene.
La regola per scrivere le soluzioni, supposto che si ripetano ogni giro, è questa: girando in senso positivo, guarda dove inizia l'intervallo (nel tuo caso, a 210°) e poi, continuando a girare in senso positivo e quindi aumentando l'angolo, guarda dove finisce (nel tuo caso, a -30° che però non va bene perché l'angolo non aumenta: devi per forza chiamarlo 360°-30°=330°); ora puoi pensare alla periodicità e scrivere la seconda soluzione come
$210°+k*360°<x<330°+k*360°$
Se ora guardi le due soluzioni, noti che la seconda ripete la prima dopo mezzo giro e quindi possono essere riassunte in
$30°+k*180°<x<150°+k*180°$
e scommetto che nella soluzione del libro c'è proprio $+k*180°$.

[Bad90]

Si c'e' proprio 180

[Bad90]

Esercizio 3

Per questa sto trovando problemi:

$ cos2x - cosx <0 $

Ho utilizzato la formula di addizione del coseno ed ho ottenuto la seguente:

$ 2cos^2 x - cosx -1 < 0 $

Ottengo le due soluzioni, $ cosx<1 $ e $ cosx<-1/2 $ .

Adesso sto provando a disegnare sulla circonferenza le zone che sono comuni a tutte e due, penso sia il metodo giusto, ma non sto riuscendo a capire la cia corretta!

[chiaraotta]

Esercizio 4
$ 2cos^2 x - cosx -1 < 0 $

Ottengo le due soluzioni, $ cosx<1 $ e $ cosx<-1/2 $ .

No, è
$-1/2< cosx<1 -> -120°+k360°<x<+120°+k360° ^^ x!=k360°$

[Bad90]

Esercizio 4
$ 2cos^2 x - cosx -1 < 0 $

Ottengo le due soluzioni, $ cosx<1 $ e $ cosx<-1/2 $ .

No, è
$-1/2< cosx<1 -> -120°+k360°<x<+120°+k360° ^^ x!=k360°$

Accipicchia, il mio testo non mi fa vedere le soluzioni esposte in questo modo! E piu' intuitivo scriverla in quel modo!

[Bad90]

Esercizio 5
Ho risolto la seguente disequazione:

$ 2sen^2 x - 11senx + 5>0 $

Ma perche' il mio testo dice che le soluzioni sono :

$ 0<= x< 30^o $ ; $ 150^o< x<=360^o $

Come si possono spiegare questi risultati?
Io ho ottenuto questo:

$ 30^o + k360^o<x<150^o + k360^o $

Cosa cambia????

[giammaria]

Hai indicato esattamente il contrario del libro. Tracciate le rette orizzontali corrispondenti a $sinx=5$ e $sinx=1/2$, devi stare fuori da quella striscia, cioè sotto ad $1/2$. Vedo che il tuo libro non mette il solito $+k*360°$ e ne concludo che in qualche posto richiede di scrivere solo le soluzioni nel primo giro: l'arco che ci interessa deve quindi essere considerato in due parti separate. Volendo invece scrivere tutte le soluzioni ed usare un unico arco, la soluzione sarebbe stata
$120°+k*360°<x<360°+30°+k*360°$

[chiaraotta]

...la soluzione sarebbe stata
$120°+k*360°<x<360°+30°+k*360°$

Mi sembra che
$sin x<1/2->150°+k360°<x<360°+30°+k360°$.