Re: Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

Messaggioda giammaria » 26/12/2012, 00:00

Esercizio 8) Tu scrivi le soluzioni delle tre equazioni (quelle dell'ultima non sono corrette), ma non quelle delle disequazioni e non si capisce cosa intendi per "zone comuni"; inoltre la domanda non era quella. Provo a spiegarti la soluzione del libro; per semplicità, limito l'attenzione al primo giro e quindi trascuro il solito $+k*360°$. Tu vuoi che un prodotto sia negativo e quindi ti chiedi quando i fattori hanno il più; la tua prima disequazione è
$sin x>0$ che è vera se $0°<x<180°$
Riporti questa soluzione sul grafico, e dovrebbe essere sul cerchio goniometrico (quello disegnato in blu). Così però non riusciresti a vedere le varie disequazioni; quindi lo ingrandisci un po' ed ottieni il primo cerchio rosso, sul quale segni col più la zona corrispondente alla soluzione e col meno il resto. Io avrei preferito usare una linea continua per il più e tratteggiata per il meno (è più visibile), ma il concetto è lo stesso.
Passi ora alla seconda disequazione, cioè
$sin^2x>1/4$ che è verificata al di sopra di $1/2$ o al di sotto di $-1/2$, cioè per $(30°<x<150°)vv(210°<x<330°)$
e riporti questa soluzione su un altro cerchio ingrandito (il secondo cerchio rosso). Per poter capire dove sono i vari angoli, si tracciano le semirette che li delimitano, così l'angolo non cambia anche ingrandendo il cerchio; nel tuo caso da quest'ultima disequazione ottieni quattro semirette che originano due rette (ma in altri esercizi potrebbero anche non farlo).
Passi ora alla conclusione, ricordando che la tua domanda era "quando c'è il meno?"; fai quindi il solito ragionamento sui segni e consideri come soluzioni le zone col meno: è il cerchio rosso più esterno.
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Re: Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

Messaggioda Bad90 » 26/12/2012, 00:13

Perfetto :smt023

Mentre per l'esercizio 9, dici che e' fatto bene :?:
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Re: Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

Messaggioda Bad90 » 26/12/2012, 11:14

Scusami, per zone comuni intendevo le zone in cui sono entrambi verificate! Per quanto riguarda l'errore sull'ultimo risultatonho compreso il perche'! :smt023
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Re: Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

Messaggioda giammaria » 26/12/2012, 11:20

Bad90 ha scritto: $ (1-2senx)/(cosx)<=0 $
E' vero che in questo caso bisogna sempre imporre che il $ N>=0 $ e anche $ D>=0 $ :?: :?: :?:

E' quasi vero: deve essere $D>0$, senza l'uguale. La domanda che ci poniamo è il segno di $N,D$ e per questo ci chiediamo quando sono positivi: la linea continua rappresenterà il più e la tratteggiata il meno. Alla fine ricorderemo che volevamo che il rapporto avesse il meno e sceglieremo le zone in cui capita.
Nel seguito ci sono numerosi errori; li correggo tralasciando il $+k*360°$.

1) Moltiplicando per $-1$ si ottiene $ (2senx-1)/(cosx)>=0 $ e non quello che hai scritto tu; per tenermi aderente al tuo successivo svolgimento, tralascio questa moltiplicazione e mi riferisco sempre e solo alla disequazione iniziale.
2) Il numeratore si annulla nei punti che indichi; da dove spunta il 270°? Inoltre da $1-2sinx>=0$ ricavi $sinx<=1/2$ (non $>=$): ti va quindi bene la parte di cerchio sotto a questo valore. Limitando l'attenzione al primo giro, dobbiamo dividerla in due pezzi: quello fino a 30° e quello dopo i 150°. Scriviamo quindi
$0°<=x<=30° vv 150°<=x<=360°$
3) Per il denominatore non ci vogliono gli uguali perché non può annullarsi, ma è sbagliato scrivere $90°<x<-90°$ e per due motivi: in primo luogo, il primo membro non può essere maggiore del terzo (per la proprietà transitiva delle diseguaglianze otterresti $90°<-90°$, assurdo). Anche correggendo in $90°<x<270°$ sarebbe sbagliato, perché l'arco che ha quell'inizio e quella fine copre secondo e terzo quadrante, mentre il coseno è positivo nel primo e quarto. Se l'attenzione è limitata al primo giro, la soluzione va scritta come
$0°<=x<90°vv270°<x<=360°$
Se invece non ci limitiamo al primo giro, potevamo anche scriverla come
$-90°+k*360°<x<90°+k*360°$

Non posso vedere come hai fatto il disegno: forse è giusto. Il numeratore dovrebbe essere rappresentato da un arco continuo, che copre interamente terzo e quarto quadrante, nonché parzialmente primo e secondo; il denominatore è un arco continuo su quarto e primo. Il ragionamento finale sui segni è giusto se riferito alla disequazione che indichi dopo la moltiplicazione per $-1$; riferendosi alla disequazione iniziale devi però ottenere il seno meno.
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Re: Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

Messaggioda Bad90 » 26/12/2012, 11:33

Per la moltiplicazione per -1 ho solo sbagliato a fare un copia e incolla, :roll:
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Re: Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

Messaggioda giammaria » 26/12/2012, 14:12

Allora però va modificato quello che segue: da $N>=0$ ottieni
$2senx-1>=0->sinx>=1/2->30°+k*360°<=x<=150°+k*360°$
e risultano diversi sia il grafico finale che la scelta del segno conclusivo.
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Re: Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

Messaggioda Bad90 » 26/12/2012, 17:29

Esercizio 10

Sto cercando di capire la seguente:

$ (2senx - sqrt2)/(cos^2 x +1) <0 $

$ N >= 0 $

$ senx >=sqrt2/2 $ allora $ x=45^o + k360^o $ e $ x=135^o + k360^o $

$ 45^o + k360^o <=x<=135^o +k360^o $

$ D>0 $

$ cos^2 x +1>0=> cos^2 x > -1=>cos x > 1 $ (Ho un dubbio se effettivamente possa essere maggiore di uno)

$ x=k360^o $

$ x=k360^o $

Se ho fatto bene, allora so che la soluzione iniziale cerca il segno meno e quindi:

$ k360^o<=x<45^o + k360^o $ $ ^^ $ $ 135^o + k360^o<x<=360^o + k360^o $

Va bene così?
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Re: Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

Messaggioda giammaria » 26/12/2012, 18:06

Il denominatore è sempre positivo perché un quadrato è sempre maggiore di un numero negativo. Se fosse giusto il tuo $cosx>1$ la risposta sarebbe invece "sempre falso" (cioè il denominatore non è mai positivo) perché un coseno non può essere maggiore di 1. Il resto va bene.
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Re: Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

Messaggioda Bad90 » 26/12/2012, 18:10

giammaria ha scritto:Il denominatore è sempre positivo perché un quadrato è sempre maggiore di un numero negativo. Il resto va bene.

Grazie :-)
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Re: Sistemi di disequazioni in senx, cosx e tgx.

Messaggioda Bad90 » 02/01/2013, 18:36

Esercizio 11

Ho risolto la seguente disequazione:

$ 1-1/(tgx)>0 $

Sono arrivato alla seguente:

$ (tgx -1)/(tgx)>0 $

Adesso impongo il $ N>0 $ ed ho $ x= 45^o + k180^o $

Impongo il $ D>0 $ ed ho $ x= k180^o $

Adesso avro' il numeratore che sara' verificato $ 45^o<x<135^o $ .
Il denominatore che sara' verificato per tutto l'arco $ 0^o<x<180^o $

Adesso la disequazione vuole i settori quando e' positiva, quindi ho:

$ 45^o + k180^o <x<90^o + k180^o $ e $ 90^o + k180^o <x<135^o + k180^o $

Ma il testo e' d'accordo solo con la mia prima soluzione, mentre con la seconda no, in fatti per la seconda dice che:

$ 90^o + k180^o <x<180^o + k180^o $

Non sto riuscendo a capire il perche'! Un'attimo...............
Mi sta ingannando la soluzione perche' penso sia giusto il risultato del testo in quanto tra 90 gradi e 180 gradi ho due archi tratteggiati e quindi danno una soluzione positiva, giusto????
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