calcolo limite

devo calcolare questo limite, ma ho incontrato problemi, qualcuno può aiutarmi? grazie!

\(\displaystyle \lim_{{x}\to 0} \frac{ 3arccos(x) sin(tg(x)-arctg(x))}{180 x^3 } \)

\(\displaystyle = \frac{0}{0} \)

\(\displaystyle \lim_{{x}\to 0} \frac{ 3arccos(x) }{180 } \frac{ 1 }{x^3 }\frac{ sin(tg(x)-arctg(x))}{(tg(x)-arctg(x)) }(tg(x)-arctg(x)) =\)

\(\displaystyle \lim_{{x}\to 0} \frac{ 3arccos(x) }{180 } \frac{ 1 }{x^3 } \left( \frac{tg(x) }{x}x - \frac{arctg(x) }{x}x \right) =\)

\(\displaystyle \lim_{{x}\to 0} \frac{ 3arccos(x) }{180 } \frac{ 1 }{x^3 } ( x-x) \)

ora dato che \(\displaystyle ( x-x) = 0 \) tutto il limite è uguale a zero??? se no, come dovrei continuare?

\(\displaystyle \lim_{{x}\to 0} \frac{ 3arccos(x) }{180 } \frac{ 1 }{x^3 }\frac{ sin(tg(x)-arctg(x))}{(tg(x)-arctg(x)) }(tg(x)-arctg(x)) =\)

Fino a qui tutto giusto.
Ora devi risolvere $lim_(x -> 0) (tan(x) - arctan(x))/x^3$ . Il modo più indolore per farlo è usando De L'Hospital.

Ora devi risolvere $lim_(x -> 0) (tan(x) - arctan(x))/x^3$ . Il modo più indolore per farlo è usando De L'Hospital.

Grazie per il consiglio

Se ho ben capito il limite dovrebbe essere:
\(\displaystyle \lim_{{x}\to 0} \frac{ 3arccos(x) }{180 } \frac{ tg(x)-arctg(x) }{x^3 }=\)

\(\displaystyle \lim_{{x}\to 0} \frac{ arccos(x) }{60 } \frac{ \frac{ 1 }{cos^2(x) }- \frac{ 1 }{1+x^2 } } { 3x^2} =\)


\(\displaystyle \lim_{{x}\to 0} \frac{ arccos(x) }{60 } \frac{( 1+x^2 )-cos^2(x)}{(1+x^2 )cos^2(x) } \frac{ 1 } { 3x^2} =\)

ma sono nuovamente in una forma indeterminata. se includo nel calcolo della derivata anche arccos(x)/60 ( xkè non so se si deve includere o meno) comunque ritorno in una forma indeterminata 0/0

\(\displaystyle \lim_{{x}\to 0} \frac{ arccos(x) }{60 } \frac{( 1+x^2 )-cos^2(x)}{(1+x^2 )cos^2(x) } \frac{ 1 } { 3x^2} =\)

Il pezzo \( \displaystyle \frac{1}{3(1+x^2 )cos^2(x) } \) non dà problemi. L'indeterminazione interessa solo \( \displaystyle \frac{ ( 1+x^2 )-cos^2(x) } { x^2} \) e quindi puoi applicare nuovamente De L'Hospital (limitatamente a questo fattore che ti ho indicato).

se includo nel calcolo della derivata anche arccos(x)/60 ( xkè non so se si deve includere o meno) comunque ritorno in una forma indeterminata 0/0

Non serve includerlo, visto che il limite di quel fattore è una costante $\ne 0$.

grazie mille!