limite

[luna77]

qualcuno può correggere lo svolgimento di questo limite? grazie

\(\displaystyle \lim_{{x}\to 0} \frac{log(-3cos^2(x)+cos(x)+3)arccos(arcsin(x))}{ tg(x+45) tg\left(\frac{ 900 x^2}{ x+4 }\right)} \)

\(\displaystyle = \frac{0}{0}\)

\(\displaystyle 90 \lim_{{x}\to 0} \frac{ (x+4)(-3cos^2(x)+cos(x)+2) }{ 900 x^2 }\)


\(\displaystyle = \frac{1}{10} \lim_{{x}\to 0} \frac{-3cos^2(x)+cos(x)+2+ (x+4)(6sen(x)cos(x)-sen(x)) }{ 2x } \)


\(\displaystyle = \frac{1}{20} \lim_{{x}\to 0} [ 6sen(x)cos(x)-sen(x) + 6sen(x)cos(x)-sen(x)+ (x+4)(6cos^2(x)-6sen^2(x)-cos(x))] \)


\(\displaystyle = \frac{1}{20} [ 0-0 + 0-0+ (4)(6-0-1)] = 1\)

[giammaria]

Ci sono alcune cose che non mi convincono o che sono migliorabili.
1) Quando vedo scritto $tg(x+45)$ mi viene spontaneo pensare ai gradi, ma la formula
$lim_(x->0)(tgx)/x=1$
nonché le formule per la derivazione delle funzioni goniometriche sono valide solo se l'angolo è in radianti e quindi in analisi si usa sempre e solo quell'unità di misura: avrebbe dovuto esserci $tg(x+pi/4)$. Inoltre $arccos0=pi/2$ e non 90; il fatto che ti venga un bel risultato finale mi fa pensare che l'errore non sia tuo ma del libro.
2) Prima di applicare il teorema dell'Hospital, calcola il limite dei fattori che non tendono a zero (nel tuo caso, $x+4$) e portalo fuori dal limite. Non facendolo, il risultato viene lo stesso ma la derivata è molto meno facile.
3) Quando, per $x->0$, hai un polinomio in $cosx$ che tende a zero, si può usare L'Hospital ma il metodo più rapido è scomporlo in fattori: per il teorema di Ruffini sai già che un fattore è $1-cosx$. Quindi

$lim_(x->0)(-3cos^2x+cosx+2)/x^2=lim_(x->0)((-cosx+1)(3cosx+2))/x^2=lim_(x->0)((1-cosx)/x^2*(3cosx+2))=1/2*5=5/2$

A parte queste osservazioni, va bene.

[luna77]

grazie mille!!!