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$ lim_(x->0) (e^sin(x)-1)/(5x )$

faccio questo passaggio

$ lim_(x->0) (sin(x)*ln(e)-1)/(5x) $

$ lim_(x->0) (sin(x)-1)/(5x) $

$ lim_(x->0) (1/5*(sin(x))/x)-(1/(5x)) $

Perchè non provi in questo modo?

$lim_(x->0)(e^sinx-1)/sinx*sinx/x*1/5$

ok grazie, ma il cambio di variabile allora posso farlo solo limitatamente alla prima parte dell' espressione, giusto ?

Certo, anche perchè il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti, quindi volendo puoi riscrivere l'espressione come prodotto di tre limiti e calcolarli separatamente (con cambio di variabile nel primo). Infine moltiplicarli tra loro.
Tieni presente comunque che, a meno di richieste particolari degli insegnanti, di solito non si sprecano passaggi (e quindi tempo prezioso) per operazioni tutto sommato abbastanza semplici.
Ciao.

Grazie mille.ciao