Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)

Messaggioda Bad90 » 06/01/2013, 21:10

Non sto capendo perche' il seno e il coseno sono dati dalle seguenti:

$ senalpha= (AB)/(bar(CB)) $

$ cosalpha= (CA)/(bar(CB)) $

Ecco l'immagine della circonferenza:


Immagine
Ultima modifica di Bad90 il 06/01/2013, 21:15, modificato 3 volte in totale.
“Il fine principale della filosofia naturale è di formulare le leggi basandosi sui fenomeni, senza formulare ipotesi, risalendo dall'effetto alle cause sino a quando giungiamo alla causa prima che certamente non è meccanica.”

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Re: Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)

Messaggioda marcosocio » 06/01/2013, 21:11

Qual è il problema? Come non detto, non appariva il testo!
Ultima modifica di marcosocio il 06/01/2013, 21:30, modificato 1 volta in totale.
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Re: Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)

Messaggioda minomic » 06/01/2013, 21:23

Perchè i triangoli CHM e CAB sono simili. Prova a impostare le proporzioni e vedrai che risulta tutto.
PS. Nelle tue formule hai scritto $alpha$ ma credo ti riferissi all'angolo $gamma$... ;)
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Re: Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)

Messaggioda Bad90 » 06/01/2013, 21:27

Si mi riferivo a quello!
“Il fine principale della filosofia naturale è di formulare le leggi basandosi sui fenomeni, senza formulare ipotesi, risalendo dall'effetto alle cause sino a quando giungiamo alla causa prima che certamente non è meccanica.”

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Re: Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)

Messaggioda minomic » 06/01/2013, 21:44

Adesso ti torna tutto? Cioè ti è chiaro come mai il seno e il coseno di $alpha$ possono essere espressi in quel modo?
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Re: Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)

Messaggioda Bad90 » 06/01/2013, 21:50

minomic ha scritto:Adesso ti torna tutto? Cioè ti è chiaro come mai il seno e il coseno di $alpha$ possono essere espressi in quel modo?

Ancora non riesco ad accettare tanto il perche'! Insomma, riesco perfettamente a replicare i passaggi, ma non mi spiego del perchè! Poi noto che utilizza gli archi associati per quanto riguarda l'angolo beta:

Immagine
“Il fine principale della filosofia naturale è di formulare le leggi basandosi sui fenomeni, senza formulare ipotesi, risalendo dall'effetto alle cause sino a quando giungiamo alla causa prima che certamente non è meccanica.”

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Re: Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)

Messaggioda minomic » 06/01/2013, 22:10

Ok. E' noto che il seno e il coseno di un angolo sono definiti in questo modo: presa una circonferenza centrata nell'origine e con raggio unitario si consideri il semiasse positivo delle $x$ come il primo lato dell'angolo e si fissi un secondo lato. In questo modo individuiamo l'angolo che nella tua immagine si chiama $gamma$. A questo punto si definisce $sin gamma = \bar{MH}, cos gamma = \bar{CH}$. Tutto ok fin qui? Bene, allora procediamo!
I triangoli CHM e CAB sono simili poichè hanno entrambi un angolo retto e l'angolo $gamma$ in comune. A questo punto impostiamo questa proporzione
$\bar{CH} : \bar{CM} = \bar{CA} : \bar{CB}$
ma abbiamo detto che $\bar{CH}=cos gamma$ e che il raggio $\bar{CM}$ della circonferenza è unitario, quindi la proporzione diventa
$cos gamma : 1 = \bar{CA} : \bar{CB}$.
Quindi per le regole delle proporzioni possiamo scrivere $cos gamma = \bar{CA}/\bar{CB}$.
Lo stesso discorso può essere ripetuto per il seno.
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Re: Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)

Messaggioda Bad90 » 06/01/2013, 22:38

minomic ha scritto:Ok. E' noto che il seno e il coseno di un angolo sono definiti in questo modo: presa una circonferenza centrata nell'origine e con raggio unitario si consideri il semiasse positivo delle $x$ come il primo lato dell'angolo e si fissi un secondo lato. In questo modo individuiamo l'angolo che nella tua immagine si chiama $gamma$. A questo punto si definisce $sin gamma = \bar{MH}, cos gamma = \bar{CH}$. Tutto ok fin qui? Bene, allora procediamo!
I triangoli CHM e CAB sono simili poichè hanno entrambi un angolo retto e l'angolo $gamma$ in comune. A questo punto impostiamo questa proporzione
$\bar{CH} : \bar{CM} = \bar{CA} : \bar{CB}$
ma abbiamo detto che $\bar{CH}=cos gamma$ e che il raggio $\bar{CM}$ della circonferenza è unitario, quindi la proporzione diventa
$cos gamma : 1 = \bar{CA} : \bar{CB}$.
Quindi per le regole delle proporzioni possiamo scrivere $cos gamma = \bar{CA}/\bar{CB}$.
Lo stesso discorso può essere ripetuto per il seno.


Devo farti i miei immensi complimenti perchè sei stato chiarissimo e bravo a farmi capire il perchè del mio dubbio! Ti ringrazio!
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Re: Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)

Messaggioda minomic » 06/01/2013, 22:45

Bad90 ha scritto:Devo farti i miei immensi complimenti perchè sei stato chiarissimo e bravo a farmi capire il perchè del mio dubbio! Ti ringrazio!

Grazie a te dei complimenti!
Se hai altri dubbi non hai che da chiedere! :wink:
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Re: Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)

Messaggioda Bad90 » 06/01/2013, 22:50

Ok, ti ringrazio!
Comunque per il $ sen alpha $ si ha:

$ bar(MH):bar(MO) = bar(BA) : bar(BC) $

$ sen gamma:1 = bar(BA) : bar(BC) $

$ sen gamma = bar(BA) /bar(BC) $
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