Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)

[minomic]

Esatto. In questo modo hai anche dimostrato le importantissime relazioni che nei triangoli rettangoli legano cateti, ipotenuse, seni e coseni. Infatti $\bar{BA}$ è un cateto mentre $\bar{BC}$ è l'ipotenusa, quindi $\bar{BA}=\bar{BC}*sin gamma$ cioè cateto=ipotenusa*sin(angoloOpposto).

[Bad90]

Se hai altri dubbi non hai che da chiedere!

Scusami, ma perchè si utilizzano gli archi associati per l'angolo $ beta $

E' per un fatto che mantiene i segni positivi dei seni e coseni Insomma, se io decidessi di mettere il centro della circonferenza nel punto B, allora quel raggio si riporterebbe nel terzo quadrante e quindi con gli archi associati li riporto nel primo quadrante, vero?

[minomic]

Allora, intanto è chiaro che $beta=90° - gamma$, quindi se disegni l'angolo $beta$ nella circonferenza goniometrica (come abbiamo fatto fino ad ora con l'angolo $gamma$) ti accorgi che questo triangolo e il triangolo CAB sono ancora simili. Di fatto hai scambiato l'angolo adiacente con quello opposto, quindi è ragionevole pensare che si scambieranno il seno con il coseno.
In parole povere è sempre lo stesso triangolo, appoggiato prima su un cateto e poi sull'altro.

[Bad90]

Adesso sro facendo una grande confusione con questo:

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Ecco il triangolo a cui si riferisce:

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[minomic]

Ok. Sappiamo che per definizione $tan beta= (sin beta)/(cos beta)$ ma per quanto abbiamo detto prima $sin beta = b/a$ e $cos beta = c/a$ (la storia dei cateti adiacenti o opposti). Giusto? Se hai capito questo allora ci siamo perchè
$tan beta=(sin beta)/(cos beta)=b/a*a/c=b/c$.
A questo punto conosciamo $tan beta$, quindi possiamo conoscere $beta$ con la funzione arcotangente (cioè l'inversa della tangente). Se conosciamo $beta$ ricaviamo subito $gamma=90°-beta$.

Vogliamo l'ipotenusa? Ci basterà fare $"cateto"/"sin angolo opposto"$ oppure $"cateto"/"cos angolo adiacente"$, che in questo caso significa $a=b/sin beta=b/cos gamma=c/sin gamma=c/cos beta$.

[Bad90]

Ok. Sappiamo che per definizione $tan beta= (sin beta)/(cos beta)$ ma per quanto abbiamo detto prima $sin beta = b/a$ e $cos beta = c/a$ (la storia dei cateti adiacenti o opposti). Giusto? Se hai capito questo allora ci siamo perchè
$tan beta=(sin beta)/(cos beta)=b/a*a/c=b/c$.
A questo punto conosciamo $tan beta$, quindi possiamo conoscere $beta$ con la funzione arcotangente (cioè l'inversa della tangente). Se conosciamo $beta$ ricaviamo subito $gamma=90°-beta$.

Vogliamo l'ipotenusa? Ci basterà fare $"cateto"/"sin angolo opposto"$ oppure $"cateto"/"cos angolo adiacente"$, che in questo caso significa $a=b/sin beta=b/cos gamma=c/sin gamma=c/cos beta$.

Ho compreso perfettamente

[minomic]

Ho compreso perfettamente

Ottimo!

[Bad90]

Questo e' il caso due:

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[minomic]

Questo forse è un po' più semplice di quello di prima: dalle solite formule sappiamo che se conosciamo $a$ e $c$ si trova subito $sin gamma=c/a$. Se conosciamo $sin gamma$ possiamo immediatamente risalire a $gamma$ grazie alla funzione arcoseno (attenzione alle soluzioni doppie!). Se conosciamo $gamma$ troviamo subito $beta=90°-gamma$.
A questo punto l'altro cateto si trova come $"ipotenusa"*"(sin angolo opposto)"$ oppure $"ipotenusa"*"(cos angolo adiacente)"$ cioè $b=a*cos gamma=a*sin beta$.

[Bad90]

Caso 3

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