Relazioni tra elementi di un triangolo (trigonometria)

[Bad90]

Caso 4

[minomic]

Forza, prova a capirli da solo. Inizia ad impostare il ragionamento (che è sempre lo stesso) e poi se non ci salti fuori lo riguardiamo insieme.

[Bad90]

Forza, prova a capirli da solo. Inizia ad impostare il ragionamento (che è sempre lo stesso) e poi se non ci salti fuori lo riguardiamo insieme.

Ok, piu' tardi to faccio sapere!

[minomic]

Forza, prova a capirli da solo. Inizia ad impostare il ragionamento (che è sempre lo stesso) e poi se non ci salti fuori lo riguardiamo insieme.

Ok, piu' tardi to faccio sapere!

Non mi muovo!

[Bad90]

Scusate, ma perche' nel teorema della corda un lato e' uguale a $ 2R *sen alpha $ ? Insomma, il mio problema e' accettare il perche' moltiplicare proprio per il seno e non il coseno???????

[minomic]

Scusate, ma perche' nel teorema della corda un lato e' uguale a $ 2R *sen alpha $ ? Insomma, il mio problema e' accettare il perche' moltiplicare proprio per il seno e non il coseno???????

Hai provato a fare il disegno? Traccia una ciconferenza e una corda qualsiasi chiamata $\bar{AC}$, ora dal punto $A$ traccia il diametro $\bar{AB}$: in questo modo hai ottenuto due lati di un triangolo, che andrai a chiudere tracciando il segmento (che poi è un'altra corda) $\bar{BC}$. Per le note proprietà dei triangoli inscritti in una semicirconferenza si ha che il triangolo $ABC$ è sempre retto in $C$, quindi $\bar{AC}$ è un cateto e lo puoi ottenere come $"ipotenusa"*"sin(angoloOpposto)"$ ma l'ipotenusa è $\bar{AB}=2r$ e l'angolo opposto è $A \hat B C$ che è uno degli infiniti angoli alla circonferenza sottesi dalla corda $\bar{AC}$. Ci sarebbe da fare una precisazione tra gli angoli alla circonferenza acuti ed ottusi ma la troverai di sicuro anche sul libro. In conclusione abbiamo ottenuto che una corda è data dal prodotto del diametro per il seno dell'angolo alla circonferenza sotteso dalla corda \(\Box\).

[Bad90]

Ok, ma graficamente il seno esposto nella dimostrazione, non riesco a comprenderlo! Mi spiego, io so he il seno e' l'ordinata, bene, ma a quale ordinata si riferisce?

[minomic]

Ok, ma graficamente il seno esposto nella dimostrazione, non riesco a comprenderlo! Mi spiego, io so he il seno e' l'ordinata, bene, ma a quale ordinata si riferisce?

Dimentica questa cosa dell'ordinata (non dimenticarla troppo però ), serviva solo per dare la definizione formale della funzione seno. Adesso quello che conta sono le proprietà dei triangoli rettangoli che dicono che un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto.

Potresti sempre disegnare una circonferenza goniometrica centrata in $B$ e ritrovarti con il solito discorso dei triangoli simili che avevamo visto prima ma tutto questo non si fa. Avevamo fatto la costruzione geometrica e le osservazioni sui triangoli simili per arrivare a un risultato generale, e cioè che un cateto è uguale prodotto tra l'ipotenusa e il seno dell'angolo opposto o il coseno dell'angolo adiacente. Ora che abbiamo questo risultato lo utilizziamo direttamente senza rifare ogni volta il discorso dall'inizio.

[giammaria]

io so che il seno e' l'ordinata, bene, ma a quale ordinata si riferisce?

Puoi vedere il teorema nel modo che ti ha spiegato minomic, ma puoi anche basarti sulla tua frase che ho riportato. Con una precisazione: in realtà il seno è il rapporto fra l'ordinata ed il raggio e coincide con l'ordinata solo se $r=1$; nel nostro caso conviene però considerare un raggio generico.
Disegna ora nel solito modo un angolo acuto $alpha$, individuato dal punto A sulla circonferenza; chiama H la sua proiezione sull'asse principale e prolunga AH fino ad incontrare la circonferenza in B: AB è una corda e l'angolo al centro corrispondente è $2alpha$. Per definizione di seno hai
$sin alpha=(AH)/r$ e quindi $AH=rsinalpha$
e di conseguenza $AB=2AH=2rsinalpha$
In parole: "una corda è uguale al diametro per il seno del mezzo angolo al centro". Ma la metà dell'angolo al centro è uguale all'angolo alla circonferenza, quindi "una corda è uguale al diametro per il seno dell'angolo alla circonferenza".
Resta da considerare il caso in cui $alpha$ è ottuso e per questo anch'io ti rimando al tuo libro.

[Bad90]

Ok, adesso rivedo un po tutto!