Ciao, posso risponderti anche se non sono chiaraotta?
Data $$cos\ \alpha = cos\ \beta$$ abbiamo che due coseni sono uguali se sono calcolati sullo stesso angolo (cioè se $\alpha = \beta$ e questo è banale) oppure se un angolo è l'opposto dell'altro (cioè $\alpha = -\beta$) dato che è noto dalle formule che $cos \theta = cos (-\theta)$
Nel tuo caso si poneva $$2x = \pm x + 2k\pi$$e si procedeva come ti ha mostrato chiara. Quel $2k\frac{\pi}{3}$ che non ti torna è semplicemente la periodicità del coseno divisa per $3$, che è il coefficiente che compare davanti alla $x$.