Equazioni di 3° e 4° grado

Messaggioda Umbreon93 » 06/02/2013, 18:22

In questi giorni ho imparato a scomporre un polinomio con ruffini , le equazioni binomie / le equazioni trinomie, le equazioni reciproche di prima e seconda specie (3° e 4° grado) .

Il libro si ferma così quindi io sono in uno stato in cui so risolvere tutto quello che vi ho elencato più le equazioni di primo e secondo grado .Tralasciamo questi due ultimi argomenti .

Le domande sono :

1)E per altre equazioni di 3° e 4° grado come posso fare ? Butto come mi gira un $3x^3 +7x^2-5x+8=0$ .Questa non rientra in nessun caso elencato precedentemente ! Non ho controllato se sia scomponibile con ruffini però supponiamo a priori che non lo sia.
Non sono interessato alla risoluzione di questa equazione in sè ma alla risoluzione di tutte le equazioni di 3° grado ..per esempio,se non ci fosse il termine noto , per quanto ne sappia , potrei raccogliere la x e quindi potrei gestire la moltiplicazione tra un'equazione di primo grado e di secondo grado ...diciamo che non sono interessato al processo singolo ma a uno che le risolva tutte a prescindere :-D
2)Capitano equazioni di 3° e 4° grado di cui sto parlando (nei test universitari etc..) ?
3)Volevo mettere a punto un procedimento meccanico per approciare la risoluzione di un'equazione (superiore al 3° grado) . Pensavo di fare così :

-Vedo se è fattibile un raccoglimento della x per abbassare il grado(se non ottengo la moltiplicazione tra polinomi inferiori al 3° grado vado al punto successivo ;
-Se non è fattibile e mi accorgo che è un'equazione reciproca/binomia/trinomia utilizzo il metodo di risoluzione apposito ;
-Se non è un caso elencato nei punti precedenti tento di scomporre con ruffini cercando gli zeri del polinomio tra i candidati $+- p/q$ dove p è un divisore del termine noto e q è un divisore del coefficente della x con il grado maggiore.
-Se non rientro in uno dei casi precedenti non so come andare avanti :-D

Che ne dite ? Come fareste voi?
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Re: Equazioni di 3° e 4° grado

Messaggioda Pianoth » 06/02/2013, 18:36

Per risolvere qualunque equazione di terzo grado esiste una formula detta Formula di Cardano. Puoi trovare una breve spiegazione qui: https://www.matematicamente.it/cultura/l ... 708281110/
La formula si può ricavare senza grandissimi difficoltà, puoi trovare anche su wikipedia il procedimento.
Esiste una formula anche per le equazioni di quarto grado, ma sinceramente è di una lunghezza abominevole, quindi è adatta principalmente solo per la risoluzione automatica (al computer con algoritmi). Se sei proprio curioso di sapere quanto è lunga la formula per le equazioni di quarto grado, ecco un'immagine che contiene le 4 soluzioni dell'equazione $$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$$
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... ormula.jpg
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Re: Equazioni di 3° e 4° grado

Messaggioda Umbreon93 » 06/02/2013, 18:56

Pianoth ha scritto:Per risolvere qualunque equazione di terzo grado esiste una formula detta Formula di Cardano. Puoi trovare una breve spiegazione qui: https://www.matematicamente.it/cultura/l ... 708281110/
La formula si può ricavare senza grandissimi difficoltà, puoi trovare anche su wikipedia il procedimento.
Esiste una formula anche per le equazioni di quarto grado, ma sinceramente è di una lunghezza abominevole, quindi è adatta principalmente solo per la risoluzione automatica (al computer con algoritmi). Se sei proprio curioso di sapere quanto è lunga la formula per le equazioni di quarto grado, ecco un'immagine che contiene le 4 soluzioni dell'equazione $$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$$
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... ormula.jpg



Grazie per le informazioni :D
Non ho capito cosa si deve fare quando dice che per riuscire a risolvere un equazione di quel tipo bisogna dapprima tasformala in una più semplice ! Come si fa ? Puoi risolvere l'equazione di 3° grado che avevo scritto nell'altro post ? Grazie :D
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Re: Equazioni di 3° e 4° grado

Messaggioda Pianoth » 06/02/2013, 19:11

Hai $$3x^3 + 7x^2 - 5x + 8 = 0$$
Per eliminare il termine x^2 devi sostituire $y = x + \frac{7}{9} \rArr x = y - \frac{7}{9}$:
$$3(y-\frac{7}{9})^3 + 7(y-\frac{7}{9})^2 - 5(y - \frac{7}{9}) + 8 = 0$$
Dopo tutte le opportune semplificazioni (che ometto perché troppo laboriose), otterrai:
$$3 y^3-\frac{94}{9}y+\frac{3575}{243}=0$$
e dividendo tutto per 3 otterrai:
$$y^3-\frac{94}{27}y+\frac{3575}{729}=0$$
che è proprio un'equazione del tipo $x^3+px+q=0$. Ti starai chiedendo: da dove ho preso quel $\frac{7}{9}$?
In generale, se hai un'equazione di $n$-esimo grado generica:
$$a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0$$
puoi eliminare il termine $n-1$-esimo sostituendo $y = x + \frac{a_{n-1}}{na_{n}}$.

Nel nostro caso abbiamo un'equazione di terzo grado del tipo $ax^3+bx^2+cx+d=0$, quindi dovremo sostituire $y = x + \frac{b}{3a}$.
Spero che sia chiaro e soprattutto che io non abbia fatto qualche errore con tutte queste formule!
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Re: Equazioni di 3° e 4° grado

Messaggioda Pianoth » 06/02/2013, 19:21

In ogni caso, se hai un'equazione di terzo o quarto grado, conviene sempre scomporre, non conviene mai in genere usare queste formule perché come puoi vedere devi fare moltissimi calcoli... Sono utili principalmente solo se vuoi programmare la risoluzione automatica di tali equazioni. Sappi infine che dal quinto grado in poi è stato dimostrato che non esiste nessuna formula che trova tutte le soluzioni.
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Re: Equazioni di 3° e 4° grado

Messaggioda Umbreon93 » 06/02/2013, 20:17

Bèh,pure se hai sbagliato (e non credo) sei stato gentilissimo :D
A quanto ho capito non credo siano così cattivoni da metterci tutti questi calcoli in un test,giusto ?
Cioè , se capita un'equazione di 3° grado non sarà di certo fuori dai casi che ho trattato, giusto ?
Nel primo post ho scritto il mio approccio con le equazioni .. dici che va bene e che alla fine , provato tutto , se non c'è altro da fare , vado a utilizzare cardano ?
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Re: Equazioni di 3° e 4° grado

Messaggioda Pianoth » 06/02/2013, 20:18

Certo, ma proprio come ultimissima sponda.
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