Principio di equivalenza ed equazioni

Ciao a tutti, mi chiedevo se esistesse una dimostrazione dei principi di equivalenza (aggiungendo/moltiplicando la stessa quantità a entrambi i membri...) o dei principi equivalenti (no pun intended), in modo simile al principio di induzione e del minimo intero su internet non c'è praticamente nulla!

La dimostrazione esiste perché è un teorema, sinceramente non la conosco. È anche vero che si intuisce facilmente, ma ai matematici non basta

Scusate se rispolvero questo vecchio topic, però sarei interessato alla stessa domanda: partendo dagli assiomi di campo ordinato, come si può dimostrare che x=y -> x+c=y+c ?

Scusate se riprendo questo vecchio thread, ma sarei interessato a capire che dimostrazione può esserci a monte dei principi di equivalenza, che in quanto principi, ho sempre ritenuto non dimostrabili. Ma ora sono curioso.

Probabilmente qualche mod. chiuderà questa discussione perché è vecchia di cinque anni, ma provo a risponderti.

Come puoi parlare di campi completi senza renderti conto che non ha senso "ritenere non dimotrabile" che \( a=b \) implica \( a+c=b+c \)?

Se \( \left(K,{+},{*}\right) \) è un campo (non serve la completezza) allora \( a+c \) è l'immagine secondo \( {+} \) della coppia \( (a,c) \): \( {+} \) è una funzione!

Ok, il discorso è tanto astratto quanto bello, purtroppo ancora non ho le conoscenze per capire le strutture algebriche avanzate ma il fatto che $a=b$ implichi che $a+c=b+c$ si dimostra in maniera semplice o no? Per risparmiarti, puoi passarmi qualche link dove è riportata tale dimostrazione?

puoi passarmi qualche link dove è riportata tale dimostrazione?

Credo che qualsiasi libro di matematica (universitario, ovvio) dove sia introdotta un po' di teoria naive degli insiemi dica cos'è una funzione.

Considera \( \mathbb{R} \) con le usuali operazioni di addizione \( {+}\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) e di moltiplicazione; presi due elementi \( a \) e \( b \) reali, se \( a=b \) allora \( a+c=b+c \) poiché in primis le coppie \( (a,c) \) e \( (b,c) \) sono uguali¹. Inoltre \( {+} \) è una funzione, e ciò garantisce che ad un determinato input corrisponda un unico valore.

Ho visto una volta un post su MSE dove si parlava di questa cosa. Non lo trovo più però.

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Note

1. Due coppie ordinate \( (x,y) \) e \( (x',y') \) sono uguali se e solo se (per definizione) è \( x=x' \) e \( y=y' \). ↑

Ok, grazie!