Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

[Palliit]

@mazzarri:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Quesito 6: e come la mettiamo con la funzione costante $f(x)=0$ ? E' evidentemente soluzione dell'equazione, ma per nessun valore reale (e nemmeno complesso) di $c$ puoi avere $e^c=0$.
Inoltre, le funzioni: $f(x)=ke^(x^2)$ hanno un minimo in $x=0$ solo per $k>0$.

Quesito 10.: rispetto al segno delle derivate successive mi pare più rapido e definitivo lo studio del segno della derivata prima di $y=2x^3*e^(-x)$, dal quale si evince facilmente, anche senza tracciare il grafico, che il punto di massimo in $x=3$ corrisponde ad un massimo assoluto.

[mazzarri]

ESERCIZIO 08

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Scrivo la funzione come

$y=ax^3+bx^2+cx+d$

la cui derivata è

$y'=3ax^2+2bx+c$

1) prima condizione: passa per l'origine quindi $d=0$

2) l'origine è anche punto stazionario quindi la derivata si annulla nella origine, per cui anche $c=0$

le due condizioni restanti, cioè che la funzione passi per $(2,2)$ e che li abbia anche un punto stazionario portano a scrivere

${(2=8a+4b),(0=12a+4b):}$

${(4a+2b=1),(3a+b=0):}$

${(a=-1/2),(b=3/2):}$

la funzione cercata allora è

$y=-1/2x^3+3/2x^2$

con derivata prima

$y'=-3/2x^2+3x$

e derivata seconda

$y''=-3x+3$

La derivata seconda si annulla nel punto $M(1,1)$ (punto medio del segmento OA) e un controllo sul segno della derivata seconda nell'intorno di tale punto ci porta a concludere che sia un flesso, c.v.d

[mazzarri]

@mazzarri:

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Quesito 6: e come la mettiamo con la funzione costante $f(x)=0$ ? E' evidentemente soluzione dell'equazione, ma per nessun valore reale (e nemmeno complesso) di $c$ puoi avere $e^c=0$.
Inoltre, le funzioni: $f(x)=ke^(x^2)$ hanno un minimo in $x=0$ solo per $k>0$.
Quesito 10.: rispetto al segno delle derivate successive mi pare più rapido e definitivo lo studio del segno della derivata prima di $y=2x^3*e^(-x)$, dal quale si evince facilmente, anche senza tracciare il grafico, che il punto di massimo in $x=3$ corrisponde ad un massimo assoluto.

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Per quel che riguarda il quesito 6 non saprei che pesci pigliare... $k$ evidentemente può essere positivo o negativo ma non nullo... e invece dovrebbe essere nullo... non saprei andare oltre, dove sbaglio?
Per il quesito 10 ogni tanto, quando si può (che sottolineo) preferisco derivare ancora e ancora e ancora , è una cosa mia, non so, preferisco il metodo delle derivate successive (che peraltro uso raramente)
Grazie per le osservazioni

[vict85]

@mazzarri:

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Quesito 6: e come la mettiamo con la funzione costante $f(x)=0$ ? E' evidentemente soluzione dell'equazione, ma per nessun valore reale (e nemmeno complesso) di $c$ puoi avere $e^c=0$.
Inoltre, le funzioni: $f(x)=ke^(x^2)$ hanno un minimo in $x=0$ solo per $k>0$.
Quesito 10.: rispetto al segno delle derivate successive mi pare più rapido e definitivo lo studio del segno della derivata prima di $y=2x^3*e^(-x)$, dal quale si evince facilmente, anche senza tracciare il grafico, che il punto di massimo in $x=3$ corrisponde ad un massimo assoluto.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per quel che riguarda il quesito 6 non saprei che pesci pigliare... $k$ evidentemente può essere positivo o negativo ma non nullo... e invece dovrebbe essere nullo... non saprei andare oltre, dove sbaglio?
Per il quesito 10 ogni tanto, quando si può (che sottolineo) preferisco derivare ancora e ancora e ancora , è una cosa mia, non so, preferisco il metodo delle derivate successive (che peraltro uso raramente)
Grazie per le osservazioni

Guarda in questa pagina http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.htm il testo sulle variabili separabili.

[mazzarri]

Guarda in questa pagina http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.htm il testo sulle variabili separabili.

Grazie per la segnalazione Vict85, evidentemente c'è qualcosa che mi sfugge queste cose le ho fatte ormai 25 anni fa, ci darò una occhiata e ci penserò su... ho ricontrollato la soluzione sostituendola nella equazione di partenza, mi sembra tutto giusto, forse bisogna imporre la condizione $k!=0$, potrebbe essere una risoluzione della questione

Spero inoltre che gli esercizi che ho risolto in spoiler possano in qualche modo essere utili ai maturandi

ciao!!

[mazzarri]

ESERCIZIO 07

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Allego figura di riferimento, fatta a mano malissimo, chiedo venia...

Volume cono grande: $V_g=pi/3 R^2 (x+h)$

Volume cono piccolo: $V_p=pi/3 r^2 x$

Devo trovare una relazione che leghi tra loro $x$ e $h$. Per fare questo sfrutto la similitudine fra il cono grande e quello piccolo con la relazione

$(pi R^2)/(pi r^2)= ((x+h)^2)/(x^2)$

che porta dopo alcuni passaggi alla relazione

**$x=(rh)/(R-r)$

Il volume del tronco di cono allora sarà

$V_(tc)=V_g-V_p= $

$=pi/3 R^2 (x+h)-pi/3 r^2 x=$ (dopo alcuni passaggi sfruttando la **)

$=pi/3 h (R^3-r^3)/(R-r)$

da cui si ricava la formula desiderata

$V_(tc)=pi/3 h (R^2+r^2+Rr)$

[Palliit]

QUESTIONARIO 2

11. Determinare la funzione $f(x)$ sapendo che la curva $y=f(x)$ ha nel punto $T(3,1)$ retta tangente di equazione $y=1/4(x+1)$ e che ha derivata seconda data da: $f''(x)=(-4x)/(1-x^2)^2$.

12. Studiare la continuità e la derivabilità in $x=0$ della seguente funzione: $f(x)=\{(sqrt(2x^2-3x)," se " x<=0),(e^(-2/x)," se " x>0):}$.

13. Determinare il valore medio della funzione: $f(x)=x|x|-2" "$ nell’intervallo $[-1,3]$, ed il valore $x_m$ di $x$ in cui la funzione assume tale valore medio.

14. Calcolare il seguente limite: $lim_(n to + infty)[(n!+(n-1)!)/((n+1)!)sin2n]$.

15. Una fabbrica di materiale elettrico mette in vendita delle lampadine la cui durata è assicurata per almeno 1000 ore di funzionamento. L’eventuale durata successiva a tale periodo è una variabile aleatoria $T$ la cui densità di probabilità è data dalla funzione: $f(t)=k/(t+2)^2$ con l’intesa che $t$ sia da esprimere in centinaia di ore. Così, ad esempio, se $t=2$ la lampadina ha una durata di 1200 ore.
Dopo aver fissato il valore della costante $k$, determinare la probabilità che una lampadina scelta a caso duri complessivamente più di 1200 ore.
Tempo fa un cliente ha acquistato 1000 lampadine di quel tipo. Di queste si prendano in considerazione le 100 che hanno dimostrato di essere le più longeve: qual è stata, presumibilmente, la minima durata di una lampadina scelta fra queste 100 ?

16. La regione finita $S$ delimitata, in un piano $Oxy$, dalla curva di equazione: $y=sqrt(x)$, dall’asse delle ascisse e dalla retta $x=2$ è la base di un solido $Omega$ le cui sezioni secondo piani perpendicolari all’asse $x$ sono triangoli equilateri. Determinare il volume di $Omega$.

17. Una particella di massa unitaria libera di muoversi di moto rettilineo è soggetta ad un’accelerazione proporzionale, a mezzo di una costante negativa, al quadrato della sua velocità, sicchè dette $a$ l’accelerazione e $v$ la sua velocità vale: $a=-Kv^2$, con $K$ opportuna costante positiva.
Determinare le espressioni, in funzione del tempo, della velocità e della posizione della particella. In particolare, ponendo: $K=0.5 m^(-1)$ e $v(0)=4 m"/"s$, determinare la velocità all’istante $t=2s$.

18. La potenza sviluppata da un motore a partire dall’istante $t=0$ è, in funzione del tempo, data dalla seguente espressione: $P(t)=P_0(1-e^(-t/tau))$, dove $P_0$ e $tau$ sono due opportune costanti espresse rispettivamente in watt ed in secondi.
Dopo aver determinato $P_0$ e $tau$ in modo che si abbia: $\{(lim_(t to +infty)P(t)=100" "W),(P’(0)=25" " W"/"s):}$, calcolare il lavoro compiuto dal motore dall’istante $t_1=0$ all’istante $t_2=4s$.

19. In una piccola cittadina, nel corso delle 8 ore di apertura dello sportello postale preposto alla spedizione di raccomandate si presentano in media 4 persone al giorno. Calcolare la probabilità che in un quarto d’ora all’interno dell’orario di apertura:
- si presentino allo sportello due utenti;
- si presentino allo sportello più di due utenti.

20. Discutere al variare di $k in RR$ il numero delle soluzioni dell’equazione: $ksinx-sin2x=0$ comprese nell'intervallo $[0,2pi]$.

[mazzarri]

ESERCIZIO 11

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Ci provo ...

Anzitutto mi pare di capire che si debba risolvere una equazione differenziale del secondo ordine

Il problema nasconde in sè le condizioni iniziali che sarebbero se non erro

${(y(3)=1),(y'(3)=1/4):}$

La prima deriva dal fatto che la curva passa per $T$ quindi le coordinate del punto devono soddisfare la equazione della curva. La seconda perchè il coefficiente angolare della tangente alla curva in un punto equivale alla derivata della funzione calcolata in quel punto.

Integrerò due volte, la prima per ottenere $y'$

$y'=-4 int x/(1-x^2)^2 dx$

utilizzo i fratti semplici e dopo vari passaggi ottengo

$y'=int 1/(1+x)^2 dx -int 1/(1-x)^2 dx$

cioè

$y'=-1/(1-x)-1/(1+x)+c$

impongo SUBITO la seconda condizione iniziale $y'(3)=1/4$ e ottengo $c=0$ cioè in definitiva

$y'=(-2)/(1-x^2)$

ora integro di nuovo separando le variabili ottenendo

$y=int(-2)/(1-x^2)dx$

da cui

$y=-ln(|1+x|/|1-x|)+k$

imponendo la prima condizione iniziale $y(3)=1$ ottengo $k=1+ln2$

da cui la funzione cercata

$y=-ln(|1+x|/|1-x|)+1+ln2$

Questo esercizio era (a mio modesto parere) difficile... spero almeno il procedimento sia giusto e che possa essere utile a qualcuno che abbia voglia di rifarsi i calcoli...

grazie Palliit per questi esercizi!!!

[mazzarri]

ESERCIZIO 12

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1) Continuità

La funzione è per prima cosa definita in $x=0$ e vale $y(0)=0$.

Si deve allora verificare che a destra dello zero ci sia continuità, che il limite destro della funzione all'origine sia nullo

$lim_(x->0+) y = e^(-infty)=0$

se ne deduce che la funzione è continua in $x=0$

2) Derivabilità

La derivata prima della funzione è

${((4x-3)/(2sqrt(2x^2-3x))),(2/x^2 e^(-2/x)):}$

Il valore $x=0$ annullerebbe il denominatore in entrambe le curve e non appartiene al dominio della funzione derivata prima. Per studiare la natura del punto effettuiamo i limiti destro e sinistro della derivata in quel punto

$lim_(x->0^-) y'=-infty$

$lim_(x->0^+) y'=0$

Siamo in presenza di un punto a tangente verticale a sinistra dell'origine e a tangente orizzontale a destra dell'origine

Per concludere, in $x=0$ la funzione è definita e continua ma non è derivabile

[Palliit]

@mazzarri:

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ESERCIZIO 11

$ y'=-4 int x/(1-x^2)^2 dx $

utilizzo i fratti semplici ...

L'integrale diventa immediato effettuando la sostituzione: $t=1-x^2$.
Il calcolo con la scomposizione in fratti semplici è decisamente più laborioso e quindi meno opportuno.