Come da titolo, per fornire ai maturandi 2015 in vista dell'ormai imminente II prova un'occasione di autoverifica e di esercizio. Buon lavoro!
Questionario 1.
1. Risolvere il seguente problema di Cauchy: $\{(y'-y=e^x),(y(0)=1):}$.
2. Il grafico sottostante rappresenta l’andamento della densità di probabilità $f(x)$ di una variabile aleatoria $X$ libera di assumere valori compresi nell’intervallo $[0,2]$ .Dopo aver scritto l’espressione della funzione $f(x)$, determinare il valor medio $mu$ di $X$ e la sua varianza $sigma^2$, e calcolare infine la probabilità che il valore della v. a. $X$ risulti compreso tra $mu-sigma$ e $mu+sigma$.
3. Nei mesi di Luglio e Agosto dello scorso anno, a Marrakech (Marocco) c’è stato un solo giorno di pioggia; nello stesso periodo, a Vienna ci sono stati complessivamente 24 giorni in cui è piovuto.
Supponendo di soggiornare 10 giorni durante tale bimestre del corrente anno in una delle due località, calcolare la probabilità che nel corso della permanenza piova per non più di un giorno sia a Marrakech sia a Vienna.
4. Su una particella, animata di moto rettilineo, agisce una forza parallela al moto la cui componente $F$ rispetto ad un sistema di ascisse $x$ fissato sulla retta su cui si muove la particella varia secondo la legge: $F(x)=100*x*sinx$ (con l’intesa che le ascisse siano espresse in metri e la componente della forza in newton). Calcolare il lavoro compiuto dalla forza tra le ascisse $x=0$ ed $x=pi$.
5. Fra tutti i coni circolari retti aventi il medesimo apotema $a$ si determini quello di volume massimo..
6. Determinare tutte le funzioni $f(x)$ per le quali si ha: $f'(x)=2x*f(x)$ .
7. Dedurre, nel modo che si ritiene più opportuno, la formula per calcolare il volume di un tronco di cono avente raggi di base $R$ e $r$ ed altezza $h$.
8. Sia $P(x)$ una funzione razionale intera di terzo grado in $x$ tale che la curva $gamma$ di equazione: $y=P(x)$ abbia due estremi relativi nei punti $O(0,0)$ ed $A(2,2)$ . Dopo aver determinato $P(x)$ , si dimostri che la curva $gamma$ possiede un flesso collocato nel punto medio tra i due punti estremi.
9. Nella seguente funzione: $f(x)=\{(x+1," se "x<=0),(ax^2+bx+c," se "x>0):}$ determinare i coefficienti reali $a$, $b$, $c$ in modo che $f(x)$ soddisfi le ipotesi del Teorema di Rolle nell’intervallo $[-1,3]$ .
10. Dimostrare, usando il metodo che si ritiene più opportuno, che l’equazione: $2x^3*e^(-x)-3=0$ non ammette soluzioni reali.
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Palliit il 21/03/2016, 14:56, modificato 1 volta in totale.