Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 14/06/2015, 18:02

ESERCIZIO 14

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per prima cosa sviluppo i fattoriali per vedere se si può semplificare qualcosa

$(n!+(n-1)!)/((n+1)!) =$

$= (n(n-1)(n-2)(n-3)...+(n-1)(n-2)(n-3)...)/((n+1)n!)=$

$=((n-1)(n-2)(n-3)....(n+1))/((n+1)n!)=$

$=((n+1)(n-1)!)/((n+1)n!)=$

$=((n-1)!)/(n!)=$

$= 1/n$

A questo punto il limite si riduce a

$lim_(n->infty) sin(2n)/n=0$
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda Palliit » 15/06/2015, 09:23

Post eliminato.
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 15/06/2015, 10:25

xAle ha scritto:Grazie Palliit, questa sera dedicherò qaulche ora per testare le mie capacità. Magari scopro di essere più bravo del sapiente mazzarri in questa "nuova" matematica liceale chissà... :-D


ahahaha sarai più bravo sicuramente!!!

ho lasciato perdere 03, 15 e 19... statistica e probabilità non fanno proprio per me, non vedo questi argomenti da 25 anni e già allora non li avevo poi così chiari in mente :) devo fare un bel ripassino se diventa materia di maturità
Ultima modifica di mazzarri il 15/06/2015, 16:43, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 15/06/2015, 16:36

ESERCIZIO 20

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$ksinx-sin(2x)=0$

$ksinx-2sinxcosx=0$

$sinx(k-2cosx)=0$

Il prodotto dei due termini è nullo se si annulla o il primo o il secondo termine

1) $sinx=0$

nell'intervallo dato dal problema $(0,2pi)$ ci sono 3 soluzioni: $x=0,pi,2pi$

2) $2cosx=k$

Disegnando il grafico della funzione $y=2cosx$ ci si accorge subito che

se $|k|<2$ ci sono altre due soluzioni
se $|k|>2$ non ci sono altre soluzioni
se $k=+2$ si aggiungono le due soluzioni $x=0,2pi$ coincidenti con quelle già trovate al punto 1)
se $k=-2$ si aggiunge la soluzione $x=pi$ coincidente con quella già trovata al punto 1)

In conclusione:

$k<-2$ l'equazione ha 3 soluzioni
$k=-2$ l'equazione ha 3 soluzioni di cui 1 doppia
$-2<k<2$ l'equazione ha 5 soluzioni
$k=2$ l'equazione ha 3 soluzioni di cui 2 doppie
$k>2$ l'equazione ha 3 soluzioni

In particolare può essere interessante, anche se non richiesto, il caso $k=0$ che ricade nella tesi delle 5 soluzioni che sarebbero semplici da ricavare: $x=0,pi/2,pi,3pi/2,2pi$
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 15/06/2015, 18:08

@Palliit... siamo pronti per un terzo questionario
come vedi ho apprezzato i primi due :) :)
grazie ancora
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 18/06/2015, 14:05

@Palliit

la domanda 07 del tuo questionario, il volume del tronco di cono... è uscita realmente come quesito 02 del questionario di 10 domande... :)

spero che la mia soluzione abbia aiutato qualche maturando a questo punto :)
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda Palliit » 18/06/2015, 15:43

Il che dimostra che erano esercizi ben mirati. Anzi, mi stupisce che me ne abbiano copiato soltanto uno :P
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda mazzarri » 18/06/2015, 16:53

Palliit ha scritto:Il che dimostra che erano esercizi ben mirati. Anzi, mi stupisce che me ne abbiano copiato soltanto uno :P


:-D :-D
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda anto_zoolander » 08/03/2016, 00:15

mazzarri ha scritto:PROBLEMA 10

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Come "strategia" decido di studiare la funzione

$y=2x^3e^(-x)$

dominio: $AA x in RR$

$lim_(x->+infty) y= 0$
$lim_(x->-infty) y= -infty$

$y'=2x^2e^(-x) (3-x)$

$y''=2xe^(-x) (x^2-6x+6)$

$y'''=2e^(-x) (-x^3+9x^2-18x+6)$

Punti stazionari in

$O(0,0)$ e $A(3,54 e^(-3))$

Con il metodo delle derivate successive verifico che $O(0,0)$ è un flesso a tangente orizzontale ($y'''(0)!=0$) e che il punto $A$ è un massimo

Flessi in $x=3+-sqrt3$

Da notare che

$y_A=54 e^(-3)=2.688$

è il massimo assoluto della funzione

Dal grafico della funzione (che allego) deduco che essa è SEMPRE < 3 il che ci porta a dedurre che la equazione

$2x^3e^(-x)=3$

non ha soluzioni c.v.d.


Il ragionamento è ottimo(ovviamente che lo dica io non significa nulla), però potevi anche fermarti solo alla derivata prima.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$2x^3e^(-x)-3=0$ giustamente la poni $2x^3e^(-x)=3$

facendo la derivata prima abbiamo

$f'(x)=2x^2e^(-x)(3-x)$ inoltre abbiamo uno zero doppio $x^2geq0 forallx inR$ ed uno zero in $x=3$

il fattore $3-xgeq0 <=> xleq3$ quindi ragioniamo: in $x=0$è presente un punto stazionario/flesso ascendente che prosegue fino a $x=3$ dopo, la funzione decresce e basta, quindi $x=3$ è l'ascissa di massimo assoluto necessariamente.

calcolando $f(3)$ otteniamo $f(3)=54/e^3$ se questo numero è minore di 3, la funzione non ammetterà radici.

$54/e^3leq3 <=> 54/3leqe^3 <=> 18leqe^3$ anche approssimando a $eapprox2,7$ otteniamo $19,683geq18$ quindi la funzione non ammette radici.
Error 404
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Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda Palliit » 21/03/2016, 10:48

Visto che il post è riciclabile per il corrente anno (2016) e che restano ancora alcuni quesiti di cui nessuno ha proposto soluzione, lo faccio io.

Quesito 3.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Iniziamo col calcolo relativo a Vienna: valutiamo con: $" "p=24/62=12/31" "$ la probabilità che in un giorno scelto a caso piova. La variabile aleatoria $N$="numero di giorni di pioggia sui $10$ scelti" ha distribuzione bernoulliana, equivalendo il fenomeno alla ripetizione per $10$ volte di una prova che ha probabilità

$p=12/31" "$ di dare un certo risultato e $" "q=1-p=19/31" "$ di dare quello contrario.

Pertanto: $P[N=k]=(10!)/((10-k)!*k!)p^kq^(10-k)" "$, che per la probabilità richiesta fornisce:

$P_V[N<=1]=P[0]+P[1]= (19/31)^10+10(12/31)^1*(19/31)^9 approx 0.055=5.5%$.



Per Marrakech si può ripetere analogo calcolo con $" "p=1/62" "$ e quindi $" "q=61/62" "$, ottenendo:

$P_M[N<=1]approx0.989=98.9%$,


ma è anche ammissibile, visto l’esiguo valore della probabilità che ha di verificarsi l’evento “piove in un giorno scelto a caso a Marrakech”, ricorrere alla distribuzione di Poisson come approssimazione della binomiale:

$p(k)=lambda^k/(k!)e^(-lambda)" "$ con parametro $" "lambda=np=10*1/62=5/31" "$ ,


ottenendo in alternativa per la probabilità richiesta:

$P_M[N<=1]=p(0)+p(1)=e^(-5/31)+5/31* e^(-5/31)=36/31* e^(-5/31)approx 0.988=98.8%$.
Ultima modifica di Palliit il 06/04/2016, 09:57, modificato 2 volte in totale.
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