Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Quesito 19.

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Suddividiamo le $8$ ore di apertura dello sportello in $32$ quarti d'ora. La probabilità che in un quarto d'ora scelto a caso una persona entri nell'ufficio è: $" "p=4/32=1/8$, e viste le caratteristiche del problema (evento poco probabile che può verificarsi in un numero piuttosto grande di ripetizioni della prova) si può giustificare per la variabile aleatoria $N=$"numero di persone che entrano in un quarto d'ora scelto a caso" una distribuzione di Poisson (vedere precedente quesito, il n° 3) con parametro: $lambda=<N>"="1/8$.
Con tale scelta, la prima probabilità richiesta vale:

$P[N=2]=p(2)=(1"/"8)^2/(2!)*e^(-1"/"8)approx0.0069=0.69%$

e la seconda è:

$P[N>2]=1-[p(0)+p(1)+p(2)]=1-[e^(-1"/"8)+1/8*e^(-1"/"8)+p(2)]$

$approx 1-(0.8819+0.1102+0.0069) = 1-0.9990=0.0010=0.10%$

.

Quesito 15.

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La costante $k$ si determina imponendo la condizione di normalizzazione: $int_0^(+oo)f(t)dt=1" $; calcoliamo l’integrale improprio a primo membro:

$ int_0^(+oo)k/(t+2)^2dt=lim_(M to +oo) int_0^M k/(t+2)^2dt= lim_(M to +oo) int_2^(M+2) k/z^2dz=$


$= lim_(M to +oo)k* [-1/z]_2^(M+2)= lim_(M to +oo) k*(1/2-1/(M+2))=k/2$,

(avendo posto: $z=t+2$) $" "$da cui: $" "k/2=1" "to" "k=2" "$ .

A questo punto è calcolabile la probabilità richiesta:

$P[T>=2]=1-P[T<2]=1-2*int_0^2 dt/(t+2)^2=1-2*int_2^4 dz/z^2=$

$=1-2*[-1/z]_2^4=1-2*(-1/4+1/2)=1/2$ .


Detto $t_0$ il tempo infine richiesto, si impone che la probabilità teorica $P[T>t_0]$ corrisponda a quella frequentistica:

$int_(t_0)^(+oo)f(t)dt=100/1000=1/10$;

quindi:

$P[T>t_0]=1-P[T<=t_0]=$

$=1-int_0^(t_0)f(t)dt=1-2*int_2^(t_0+2)(dz)/z^2=1-[-2/z]_2^(t_0+2)=1-(-2/(t_0+2)+1)=2/(t_0+2)$;

uguagliando:

$2/(t_0+2)=1/10" "to" " t_0+2=20" "to" " t_0=18$,

che corrisponde (visti le unità di misura ed il significato della variabile $T$) ad una durata complessiva di $(1000+18*100)$ ore $=2800$ ore.

Visto che è ancora uscita Mate in seconda prova insisto:

QUESTIONARIO 3.pdf

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Ovviamente sono domande che vertono sulle parti di programma presumibilmente svolto fino al momento attuale, ne manca ancora una bella fetta.

Bello quello della formula di Eulero
Non so se posso ma posto in spoiler come lo farei.

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Allora prima cosa direi di dimostrare che il dominio della funzione è tutto il campo reale. Questo è vero poiché $e^(ix) !=0, AA x in RR$
Ora se riusciamo a dimostrare che $f(x) =1, AA x in RR$ ne ci seguirebbe l'identità di Eulero. Dobbiamo dimostrare quindi due cose:
1)$f$ è costante in $RR$
2)$f(a)=1$ con $a in RR$

1)Calcoliamo $f'(x) =((-sinx+icosx)e^(ix) - (cosx+isinx)ie^(ix)) /e^(2ix) =0$ Abbiamo così dimostrato che è costante.
2)Ci basta ora prendere un valore a caso dei reali e vedere che è uguale ad 1. Per il punto 1) è garantito che per ogni altro valore la funzione varrà sempre uno. Prendiamo per comodità 0.
$f(0)=(cos0+isin0) /e^0=1$
cvd (spero di non aver scritto castronerie )

Ovvio che puoi

@LoreT314 se posso permettermi un appunto:

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... il dominio della funzione è tutto il campo reale. Questo è vero poiché $e^(ix) !=0, AA x in RR$

ho l'impressione che tu abbia concluso che l'esponenziale non è mai nulla perché avevi in mente quella ad esponente reale, in effetti è: $e^x!=0$ $forall x in RR$, ma questo garantisce che lo sia anche per esponenti complessi? Per il resto direi che va benissimo.

In realtà ci avevo pensato ma la dimostrazione che ho pensato secondo me ha un errore

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Posso scrivere $ e^(ix) =(e^x) ^i$
Ora se chiamo $e^x=a$ ho la garanzia che$ a $sia sempre positivo. Ora ho $a^i$ che è sempre diverso da 0¹ di conseguenza non si annulla mai neanche $e^(ix) $.

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Note

1. qui probabilmente andrebbe dimostrato, ma il modo in cui lo dimostrerei farebbe ricorso al fatto che, dato $z=a+ib$ vale che $||e^z||=e^a$, però mi sembra che questo sia dedotto proprio dall identità di Eulero) ↑

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Calcola il modulo di $e^(ix)$.

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$||e^(ix) ||=||e^(0+ix)||=e^0=1$
Io lo so calcolare solo così, però credo che questo modo di calcolarlo derivi proprio dall identità di Eulero e quindi non possa essere usato. Correggetemi se sbaglio

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$|e^(ix)|^2=e^(ix)*e^(-ix)=e^0$