Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Delirium » 18/03/2018, 04:31

@Palliit: ho il sospetto che ci sia una certa circolarita' in quello che dite a proposito dell'esponenziale complesso. La funzione \( \text{exp} : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) viene definita come serie di potenze; al liceo, se non ricordo male, la definizione data e' proprio quella della formula di Eulero. Volendo evitare di ricorrere alle serie di potenze, quale definizione di \( \text{exp}\) state usando?
Delirium
 

Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Palliit » 18/03/2018, 09:29

@Delirium: il tuo è un sospetto ragionevole. Al liceo non viene data la definizione di esponenziale in termini di serie, si assume la formula di Eulero come definizione (così come al momento di introdurre il logaritmo naturale si assume che la base sia un numero che verrà definito più avanti). La soluzione del quesito porta a giustificare questa assunzione. Il problema di calcolare il modulo di $e^(ix)$ può essere bypassato sostituendo la funzione del quesito con la sua reciproca, in tal modo il calcolo di $|cosx+isinx|$ non richiede ulteriori definizioni e la conclusione resta inalterata. Grazie per l'osservazione!
Palliit
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 2374 di 3020
Iscritto il: 28/02/2012, 22:56

Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Palliit » 18/03/2018, 19:20

@Delirium dimmi cosa ne pensi:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Provo a dimostrare diversamente che il modulo di $e^(ix)$ è identicamente $1$.

Posto $e^(ix)=a(x)+ib(x)$, è: $" "d/(dx)e^(ix)=a'(x)+ib'(x)=ie^(ix)=ia(x)-b(x)" "$, da cui si deduce che:

1) $a'(x)=-b(x)" "$, $" "b'(x)=a(x)$.

Derivando il modulo quadro di $e^(ix)$ si trova:

$d/(dx)|e^(ix)|^2=d/(dx)[a^2(x)+b^2(x)]=2a(x)*a'(x)+2b(x)*b'(x)$,

dove sostituendo le 1) si trova identicamente $0$. Quindi $|e^(ix)|^2$ è costante, e calcolandolo per $x=0$ si trova essere $1$.
Palliit
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 2375 di 3020
Iscritto il: 28/02/2012, 22:56

Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Delirium » 18/03/2018, 19:56

Ciao Palliit, ti dico quello che ho pensato. La tua dimostrazione e' ovviamente corretta, ma a mio parere sposta ma non risolve il problema. Per come la vedo, il problema a monte e' che stai operando con la quantita' \( e^{ix} \) che de facto, a livello a cui ci poniamo (i.e. liceale), non e' ben definita; un modo "ovvio" per farlo sarebbe estendere in maniera naïve l'esponenziale definito sui reali e assumere con un po' di handwaving che \( e^{ix} \in \mathbb{C} \) (implicitamente usi questo fatto nella tua dimostrazione); per avere rigore dovresti parlare di prolungamento analitico. Assunto cio', si procede come dici, anche se allora le derivate che prendi sono da intendere nel senso dell'analisi complessa (avendo ora una funzione \( \mathbb{C} \to \mathbb{C} \)).
Delirium
 

Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Palliit » 18/03/2018, 23:51

Grazie dell'opinione.

L'uso del fatto che $e^(ix) in CC$ è esplicito, ed è una cautela a priori. Del resto non è garantito che non sia $b(x)=0$. Direi comunque che è una funzione $RR to CC$, quindi non mi sentirei di dover intendere le derivate nel senso dell'analisi complessa. Della quale, peraltro, non ho ricordi così freschi da poter dire che hai torto.
Palliit
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 2377 di 3020
Iscritto il: 28/02/2012, 22:56

Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Delirium » 19/03/2018, 00:11

Palliit ha scritto:[...] L'uso del fatto che $e^(ix) in CC$ è esplicito, ed è una cautela a priori. Del resto non è garantito che non sia $b(x)=0$. [...]

Certo, ma non "contestavo" nemmeno questo fatto; il punto e' che l'oggetto \( e^{ix} \) non puo' essere collocato in nessun insieme finche' non viene definito il comportamento della funzione esponenziale sui numeri complessi; a me ipotetico ragazzo liceale sembrerebbe tutt'altro che ovvia l'operazione di elevamento ad esponente immaginario. Inoltre, per analogia, uno potrebbe obiettare che, sebbene \(2 \text{ e } 1/2 \in \mathbb{Q}\), \(2^{1/2} \notin \mathbb{Q} \). E' chiaro che adesso ne sto facendo una questione di lana caprina; con le dovute precauzioni (e giustificazioni a posteriori) penso che tutto cio' che e' stato detto possa funzionare bene.
Delirium
 

Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Palliit » 19/03/2018, 16:25

Riflettendo su quanto scrivi, in particolare qui:
Delirium ha scritto:il problema a monte e' che stai operando con la quantita' \( e^{ix} \) che de facto, a livello a cui ci poniamo (i.e. liceale), non e' ben definita

mi sono venuti alcuni pensieri.

Quasi sempre si definiscono oggetti inediti a partire dal fatto che si comportino in modo coerente con altri analoghi che già conosciamo e sappiamo maneggiare. Per fare un esempio banale, definiamo le potenze ad esponente razionale in modo che soddisfino le stesse proprietà delle potenze ad esponente intero, e di qui ne ricaviamo il significato più intuitivo.

Rispetto all''esponenziale complessa definita da una serie di Taylor (tra l'altro, ho trovato pubblicazioni universitarie che usano la formula di Euler come definizione, quindi non è un'esclusiva dei liceali), mi sorge il dubbio che i coefficienti siano proprio quelli perché si impone che la sua derivata sia, analogamente al caso reale, l'esponenziale stessa. O, il che è equivalente, la serie che la definisce è costruita in modo tale che la derivata (complessa) di $e^z$ sia ancora $e^z$.

In tal caso, operare come se si conoscessero le proprietà di un oggetto non ancora definito proprio per arrivare a definirlo mi sembra diventi legittimo.

P.S.: puoi contestare anche senza mettere tra virgolette la parola "contestare" :-D
Palliit
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 2378 di 3020
Iscritto il: 28/02/2012, 22:56

Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Delirium » 19/03/2018, 18:14

Palliit ha scritto:[...] Quasi sempre si definiscono oggetti inediti a partire dal fatto che si comportino in modo coerente con altri analoghi che già conosciamo e sappiamo maneggiare. [...]

Sono perfettamente d'accordo.

Palliit ha scritto:[...] Rispetto all''esponenziale complessa definita da una serie di Taylor (tra l'altro, ho trovato pubblicazioni universitarie che usano la formula di Euler come definizione, quindi non è un'esclusiva dei liceali), mi sorge il dubbio che i coefficienti siano proprio quelli perché si impone che la sua derivata sia, analogamente al caso reale, l'esponenziale stessa. O, il che è equivalente, la serie che la definisce è costruita in modo tale che la derivata (complessa) di $e^z$ sia ancora $e^z$. [...]

Io non in pubblicazioni, ma in dispense universitarie di sicuro si'.
Questa pagina e' abbastanza illuminante, soprattutto alla voce "Larger domains". Mi sembra che le due vie suggerite siano quelle di cui stiamo discutendo. L'una, definire \( \exp \) sui reali e poi estenderla ai complessi attraverso prolungamento analitico e l'altra definirla direttamente sui complessi (con le dovute minuzie).

Palliit ha scritto:[...] In tal caso, operare come se si conoscessero le proprietà di un oggetto non ancora definito proprio per arrivare a definirlo mi sembra diventi legittimo.[...]

Si', credo che questo sia cio' che i matematici intendano quando dicono "in modo ovvio si definisce/estende".
Delirium
 

Re: Esercizi in preparazione della seconda prova 2015

Messaggioda giammaria » 29/05/2018, 17:24

Finora avevo trascurato questo post; ora l'ho guardato e credo che sia sfuggito un errore nell'esercizio 11, che era
11. Determinare la funzione $f(x)$ sapendo che la curva $y=f(x)$ ha nel punto $T(3,1)$ retta tangente di equazione $y=1/4x-1$ e che ha derivata seconda data da: $f''(x)=(-4x)/(1-x^2)^2$.

La retta data non passa per T; secondo me la tangente doveva essere $y=1/4(x+1)$.
In vista della prossima sessione di esami, suggerisco di modificare il testo iniziale.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
giammaria
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 4834 di 5084
Iscritto il: 29/12/2008, 23:19
Località: provincia di Asti

Re: Esercizi in preparazione della seconda prova (liceo scientifico)

Messaggioda Palliit » 30/05/2018, 16:27

Hai perfettamente ragione, @giammaria, chiedo ad @melia di modificare il post. Grazie molte.

Moderatore: @melia

Fatto!
Palliit
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 2418 di 3020
Iscritto il: 28/02/2012, 22:56

PrecedenteProssimo

Torna a Secondaria II grado

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 12 ospiti