Studio di funzioni 3

[Myriam92]

Ho svolto due studi di funzioni, e non avendo le soluzioni, chiedo se potreste confermarmi che le relative risposte siano corrette.
1) $y=e^(-x)/(1-x)$ le asserzioni seguenti riguardo questa prima funzione dovrebbero essere tutte false:
a) f non ha asintoti
b) f non ha estremi relativi
c) f ristretta a $]1,+oo[$ decresce
d) f ristretta a $]-oo,1[$ è invertibile

2) $y=(x^2-3x-4)/(x-2)$ queste invece tutte vere:
a) f ha un asintoto verticale ed uno obliquo
b) f cresce in $]2,+oo[$

ma su queste sono in dubbio:
c)f in $]-oo,2[$ è derivabile. come lo dimostro? So per certo (quasiXD) che la f è sempre crescente, non ha max,min o flessi a tg orizzontale ( non ho studiato derivata seconda..pare abbia equazione di 3°grado al numeratore )
d)$lim_(x -> 2) =+oo$ falsa perchè i limiti a sx e dx di 2 sono diversi, quindi tale limite non dovrebbe esistere

...poi vorrei sapere cosa sbaglio nel calcolo di qst limite: $lim_(x -> 2^-)f(x)= -6/0^+=-oo $(cosa graficamente inammissibile)
grazie

[axpgn]

Per la prima son tutte false ...

Per la seconda son tutte vere ...

I dubbi ...

c) intendi proprio se è derivabile? ti basta trovare la derivata e "vedere" se è continua in quell'intervallo ... e lo è ...
d) ok

...poi vorrei sapere cosa sbaglio nel calcolo di qst limite: $ lim_(x -> 2^-)f(x)= -6/0^+=-oo $(cosa graficamente inammissibile)

Perché è $0^-$ ...

[Myriam92]

Grazie Alex

Ma io per la derivabilità so il contrario... Se la funzione è derivabile implica che è continua, ma non il viceversa. Qui sappiamo che è continua, quindi non è detto che sia derivabile, credo.

Ho provato poi
$y=(e^x-1)/(x+1)$ non è invertibile perché ? Per via Delle curve separate ( funzione discontinua )?
La sua derivata prima è $(e^x*x+1)/(x+1)^2$
Ma è possibile che abbia numeratore sempre positivo ? Sì che c'è lesponenziale...Ma se la $x$ fosse negativa ( e maggiore di uno in valore assoluto) non diverrebbe negativa ?
( Scusa se le perplessità al di fuori dello studio di funzione in sé nn mancano mai )

Ah mi scriveresti per piacere la sola formula per calcolare la.derivata seconda ( se.la derivata prima l'ho fatta giusta )

[axpgn]

... Ma io per la derivabilità so il contrario... Se la funzione è derivabile implica che è continua, ma non il viceversa. Qui sappiamo che è continua, quindi non è detto che sia derivabile, credo.

Sì, quello che dici è corretto però io ho detto una cosa diversa (anche se capisco che non lo sembri ... )
Di fatto suggerivo un metodo pratico: tu ricava la derivata della funzione con le regole solite; se la funzione che risulta è "normale" (continua, un solo intervallo, non è a tratti ... cose così insomma) allora la funzione originaria è derivabile in quell'intervallo ... lo so che è una spiegazione per niente formale ma funziona ... se nell'intervallo ti avessero messo anche il $2$ era evidente che non sarebbe stata derivabile ... (prendila per buona ... )

[axpgn]

$y=(e^x-1)/(x+1)$ non è invertibile perché ? Per via Delle curve separate ( funzione discontinua )?

No, non è quello ... (pensa a $1/x$ ... ha due rami separati ma è invertibile)
Non è iniettiva cioè esistono valori distinti di $x$ che "portano" alla stessa $y$ ... un modo per vederlo velocemente è sempre quello dei limiti agli estremi degli intervalli ... per $x<1$ la funzione "parte" da zero e va a $+infty$ (quindi "copre" tutti i valori positivi della $y$) per $x>1$ la funzione va da meno infinito a più infinito (e quindi anche qui copre tutti i valori positivi di $y$), ne deduci che non è iniettiva e quindi non invertibile (scusa la poca formalità di questa sera ...)

La sua derivata prima è $ (e^x*x+1)/(x+1)^2 $
Ma è possibile che abbia numeratore sempre positivo ? Sì che c'è lesponenziale...Ma se la $ x $ fosse negativa ( e maggiore di uno in valore assoluto) non diverrebbe negativa ?

Sì, è sempre positivo il numeratore e purtroppo non si risolve analiticamente (almeno credo ...), la spiegazione (ad intuito) ai tuoi (legittimi) dubbi sta nel fatto che quando la $x$ è negativa, l'esponenziale $e^x$ diventa piccolo a tal punto che il prodotto $xe^x$, pur se negativo, è minore di uno in valore assoluto quindi complessivamente il numeratore è sempre positivo ... d'altronde (ecco trovata la spiegazione "quasi" formale ... ) sappiamo che $lim_(x-> -infty) xe^x = 0$ ...

-/-

[axpgn]

Ah mi scriveresti per piacere la sola formula per calcolare la.derivata seconda ( se.la derivata prima l'ho fatta giusta )

Risparmiamelo ... ... se non è assolutamente necessario ...

... d'altra parte la formula la conosci, sono i calcoli che ti distruggono ...

... cmq dovrebbe essere questa $(e^x(x^2+1)-2)/(x+1)^3$ ma non ci metto la mano sul fuoco ...

EDIT: modificato il $+2$ in $-2$ ...

[Myriam92]

La tua trovata innovativa per verificare la derivabilità mi pare un po' anticonformista ( va proprio contro corrente rispetto alla regola teorica xD ) ma se proprio insisti.... la prendo per buona

No, non è quello ... (pensa a $ 1/x $ ... ha due rami separati ma è invertibile)
Non è iniettiva cioè esistono valori distinti di $ x $ che "portano" alla stessa $ y $ ... un modo per vederlo velocemente è sempre quello dei limiti agli estremi degli intervalli ... per $ x<1 $ la funzione "parte" da zero e va a $ +infty $ (quindi "copre" tutti i valori positivi della $ y $) per $ x>1 $ la funzione va da meno infinito a più infinito (e quindi anche qui copre tutti i valori positivi di $ y $), ne deduci che non è iniettiva e quindi non invertibile (scusa la poca formalità di questa sera ...)

Ok. Allora vediamo... La famosa funzione $e^x-2$(come vedi finche la mia testa ricorda cerca di fare confronti con esercizi passati simili) è iniettiva avevi detto. Lo è perché se $X$ va a $+oo$ allora $y$ va a $+oo$ ? Viceversa se $X$ va a $-oo$ allora $y$ va a $-oo$? ( Anche se in realtà y non sta coprendo l'asse y) . Quindi a distinti valori di x corrispondono distinti valori di y?

A dire il vero nn sono convintissima del fatto che nel tuo esempio y segua sempre lo stesso identico andamento (ma solo parziale )in sx e dx di -1. Perché appunto in un caso va da 0 a +infinito; nell'altro da - infinito a + infinito

Sì, è sempre positivo il numeratore e purtroppo non si risolve analiticamente (almeno credo ...), la spiegazione (ad intuito) ai tuoi (legittimi) dubbi sta nel fatto che quando la $ x $ è negativa, l'esponenziale $ e^x $ diventa piccolo a tal punto che il prodotto $ xe^x $, pur se negativo, è minore di uno in valore assoluto quindi complessivamente il numeratore è sempre positivo ... d'altronde (ecco trovata la spiegazione "quasi" formale ... ) sappiamo che $ lim_(x-> -infty) xe^x = 0 $ ...-/-

È la tua informalità che ti rende comprensivo, sennò starei solo sul libro a studiare, no!?

Ah mi scriveresti per piacere la sola formula per calcolare la.derivata seconda ( se.la derivata prima l'ho fatta giusta )

Risparmiamelo ... ... se non è assolutamente necessario ...

... d'altra parte la formula la conosci, sono i calcoli che ti distruggono ...

... cmq dovrebbe essere questa $ (e^x(x^2+1)-2)/(x+1)^3 $ ma non ci metto la mano sul fuoco ...

EDIT: modificato il $ +2 $ in $ -2 $ ...

Ti avevo chiesto solo la formula iniziale di impostazione della derivata ( visto che ho un prodotto al numeratore e lo sai che mi fa andare in tilt!).. da lì in poi avrei voluto continuare io....

Poi c'è un allegato tutto per te
A presto

[axpgn]

La tua trovata innovativa per verificare la derivabilità mi pare un po' anticonformista ( va proprio contro corrente rispetto alla regola teorica xD ) ma se proprio insisti.... la prendo per buona

A dir la verità c'è differenza tra quello che ho detto e quello che dici tu ... comunque la cosa è più semplice di quel che sembra ...

Una funzione si dice derivabile in un punto $x_0$ se in tale punto esiste finito il limite del rapporto incrementale.
Una funzione si dice derivabile se lo è in tutti i punti del suo dominio.
Se può essere semplice verificare la derivabilità di una funzione in un punto sembrerebbe impossibile verificarlo per tutti gli infiniti punti del dominio; in realtà non è così difficile ... prendiamo una retta $y=mx+q$, se calcoliamo il limite incrementale in suo punto qualsiasi $x$ notiamo che è pari a $m$, ora, dato che il punto scelto è generico, ciò vale per tutti i punti del suo dominio e quindi la funzione "retta" è sempre derivabile; con ragionamenti grosso modo analoghi si dimostra che i monomi sono tutti derivabili, così come i polinomi e i prodotti di polinomi e pure i quozienti di polinomi purché il denominatore sia diverso da zero ... e questo è il nostro caso: in quell'intervallo siamo in queste condizioni. Ok?

-/-

[axpgn]

La famosa funzione $e^x-2$(come vedi finche la mia testa ricorda cerca di fare confronti con esercizi passati simili) è iniettiva avevi detto. Lo è perché se $X$ va a $+oo$ allora $y$ va a $+oo$ ? Viceversa se $X$ va a $-oo$ allora $y$ va a $-oo$? ( Anche se in realtà y non sta coprendo l'asse y) . Quindi a distinti valori di x corrispondono distinti valori di y?

A dire il vero nn sono convintissima del fatto che nel tuo esempio y segua sempre lo stesso identico andamento (ma solo parziale )in sx e dx di -1. Perché appunto in un caso va da 0 a +infinito; nell'altro da - infinito a + infinito

Vedi, in matematica occorre (spesso, se non sempre) stare attenti ad ogni parola detta ...
Il metodo che ho usato (quello di cui non sei "convintissima") mi è servito per dimostrare la NON iniettività della funzione ma non ho mai detto di utilizzarlo per dimostrare l'iniettività di una funzione ... dimostrare la validità di un certo teorema, di una certa proprietà, ecc. in generale è difficile ma per smentire un teorema o un affermazione basta un controesempio, ed in certo qual modo è quello che ho fatto ...

[Myriam92]

La tua derivabilità stavolta è stata troppo formale

La famosa funzione $ e^x-2 $(come vedi finche la mia testa ricorda cerca di fare confronti con esercizi passati simili) è iniettiva avevi detto. Lo è perché se $ X $ va a $ +oo $ allora $ y $ va a $ +oo $ ? Viceversa se $ X $ va a $ -oo $ allora $ y $ va a $ -oo $? ( Anche se in realtà y non sta coprendo l'asse y) . Quindi a distinti valori di x corrispondono distinti valori di y?

A dire il vero nn sono convintissima del fatto che nel tuo esempio y segua sempre lo stesso identico andamento (ma solo parziale )in sx e dx di -1. Perché appunto in un caso va da 0 a +infinito; nell'altro da - infinito a + infinito

Vedi, in matematica occorre (spesso, se non sempre) stare attenti ad ogni parola detta ...
Il metodo che ho usato (quello di cui non sei "convintissima") mi è servito per dimostrare la NON iniettività della funzione ma non ho mai detto di utilizzarlo per dimostrare l'iniettività di una funzione ... dimostrare la validità di un certo teorema, di una certa proprietà, ecc. in generale è difficile ma per smentire un teorema o un affermazione basta un controesempio, ed in certo qual modo è quello che ho fatto ...

Quindi la non iniettivitá la dimostriamo come hai detto tu(col controesempio)... L iniettivitá ( ci avevo sperato) ma nn posso dimostrarla allo stesso modo... Né in altri perché troppo complesso?...
Quella mia non convinzione di come hai dimostrato la non iniettivitá cmq permane


Cmq l'ultima derivata seconda che mi hai calcolato si imposta per caso così ?$ (e^x*(1)(x+1)^2-e^x*x+1*2(x+1)(1)/(x+1)^2?$




Ho delle perplessità su questa funzione:
$y=x/(sqrt(x^2-1))$
La derivata al denominatore intanto viene 1 per caso!?
A $-oo$ ci deve essere un asintoto orizzontale $y=-1$ che proprio a causa della derivata della radice mi sa, non riesco a calcolare correttamente.
La sua derivata prima non è questa? $(sqrt(x^2-1))-x)/(x^2-1)$ il cui studio del segno indica una decrescenza nn visibile sul grafico :/
(Scusa per le frazioni non proprio dritte xD ma le ho revisionate e sn giuste... Anche se mi escono sempre storte u.u )