da luca97xd » 20/02/2017, 20:55
Stavo pensando: sia \(\displaystyle z \) complesso con \(\displaystyle z=x+iy=\rho e^{i(\varphi+2k\pi)} \). Dunque, si ha \(\displaystyle z^\xi=\rho^\xi e^{i(\varphi+2k\pi)\xi} \) per ogni \(\displaystyle \xi\in\mathbb{R} \) e passando alla forma trigonometrica \(\displaystyle \rho^\xi(\cos(\xi(\varphi+2k\pi))+i\sin(\xi(\varphi+2k\pi))) \), distinguendo parti reale e immaginaria si ha \(\displaystyle \rho^\xi\cos(\xi(\varphi+2k\pi))+i\rho^\xi\sin(\xi(\varphi+2k\pi)) \).
Ora, essendo noti \(\displaystyle \rho=\sqrt{x^2+y^2} \) e \(\displaystyle \begin{cases}\varphi=\arctan\frac{y}{x} &con\ x>0\\ \varphi=\arctan\frac{y}{x}+\pi &con\ x<0\end{cases} \) si hanno le relative potenze. Banalmente si ha che \(\displaystyle \varphi=\pm\frac{\pi}{2} \) per \(\displaystyle x=0 \) e \(\displaystyle y\gtrless0 \).
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Dunque, si ha \(\displaystyle x>0\Rightarrow z_1 \), \(\displaystyle x<0\Rightarrow z_2 \) e \(\displaystyle x=0,y\gtrless0\Rightarrow z_3 \). A rigore di completezza logica diremo \(\displaystyle 0^\xi=0 \) per ogni \(\displaystyle \xi\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\} \), dunque dove è definito. Di più semplice intuizione dubito si possa trovare, con tutta la scomodità di funzioni trigonometriche di funzioni trigonometriche inverse:
\(\displaystyle z_1=(x^2+y^2)^\frac{\xi}{2}\cos\left(\xi\left(\arctan\frac{y}{x}+2k\pi\right)\right)+i(x^2+y^2)^\frac{\xi}{2}\sin\left(\xi\left(\arctan\frac{y}{x}+2k\pi\right)\right) \)
\(\displaystyle z_2=(x^2+y^2)^\frac{\xi}{2}\cos\left(\xi\left(\arctan\frac{y}{x}+\pi(1+2k)\right)\right)+i(x^2+y^2)^\frac{\xi}{2}\sin\left(\xi\left(\arctan\frac{y}{x}+\pi(1+2k)\right)\right) \)
\(\displaystyle z_3=(x^2+y^2)^\frac{\xi}{2}\cos\left(\xi\pi\left(\pm\frac{1}{2}+2k\right)\right)+i(x^2+y^2)^\frac{\xi}{2}\sin\left(\xi\pi\left(\pm\frac{1}{2}+2k\right)\right) \)