Disequazione letterale fratta

[salvaspir]

Buon pomeriggio, da un po' sto combattendo con questa disequazione senza riuscire a venirne a capo
$a/(x+1)<1/(x+a)$

Illustro il mio procedimento.

$a/(x+1) - 1/(x+a) < 0$

Quindi

$(ax-a^2-x-1)/((x+1)(x+a))<0$

Poi porto in evidenza $1/(x+a)$

E pongo numeratore e denominatore maggiori di zero
N $ax-x>1-a^2$
D $ x> -1 $
Svolgo i calcoli per il numeratore e il risultato dovrebbe essere
$x> -(1+a)$

E poi?

Considerando le soluzioni fornite dal libro, ci sono un po' di cose che non mi quadrano.


Le soluzioni sono [a>1, x<-(1+a)V-a<x<-1; a<1,-(a+1)x<-1Vx>-a; a=0, impossibile]

Mi potreste spiegare dove sbaglio?


Grazie

[axpgn]

Non capisco perché metti in evidenza quel fattore ... non puoi studiarla come una normale disequazione, studiando i segni del numeratore e del denominatore ?

[@melia]

Il fattore $1/(x+a)$ non va messo fuori dalla disequazione perché contiene l'incognita, va studiato con gli altri fattori.

Il numeratore in linea generale è sbagliato.

$ (a-1)x> -(a-1)(a+1) $ va studiato in 3 distinti casi

Se $a<1$ il coefficiente $a-1$ è negativo e la disequazione diventa $ x< -(a+1) $

Se $a=1$ il numeratore si annulla per ogni x

Se $a>1$ il coefficiente $a-1$ è positivo e la disequazione diventa $ x> -(a+1) $