Domande sugli integrali

[Myriam92]

$ int uv' = uv - int u'v $ quella che tu scrivi così...
Sulle mie slides ha il secondo membro prima dell'integrale, come ti ho fatto vedere nella foto in alto, con entrambe le funzioni originarie, non derivate! Perché una delle due la derivate ?

Poi devo farti una domanda troppo banale, ma di fondo:
Se l'integrale è l'opposto della derivata, perché questo $ int x ^n \dx\ $ si svolge così $(x^(n+1))/(x+1)+c$? Se io quest'ultimo lo elevo a$ -1 $ e lo derivo come.$-m/f(x)^2*g'(x)$, nn risulta il valore di partenza

[axpgn]

Premesso che l'interpretazione di quelle scritture mi è oscura e mi sembra strano che nessuna di quelle sia derivata, faccio un ripassino della teoria ...

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La tecnica di integrazione per parti nasce dalla derivata del prodotto di due funzioni.
Date tre funzioni $y, u, v$ tali che $y=uv$, la derivata di $y$ è $y'=u'v+uv'$ che si può rappresentare anche in questo modo $(uv)'=u'v+uv'$.
Se hai la derivata di $y$ e vuoi recuperare la funzione iniziale devi trovare l'integrale indefinito della derivata cioè $y=int y'$ che da quanto detto prima si può scrivere anche così $int y'=int(uv)'=int u'v + int uv'$, ma $int (uv)'=uv$ e quindi $uv=int u'v + int uv'$.
Quest'ultima "versione" la puoi rimaneggiare tranquillamente così $int u'v=uv-int uv' $, e questa è la "formula" che ci serve nell'integrazione per parti.
Poniamo che tu abbia una funzione $z$ da integrare: se tu riesci a riconoscere che $z$ è del tipo $u'v$ allora sei a cavallo perché puoi usare quella "formula" ... se $z=u'v$ allora $int z=int u'v=uv-int uv'$
Ok?

Se l'integrale è l'opposto della derivata, perché questo $ int x ^n \dx\ $ si svolge così $ (x^(n+1))/(x+1)+c $?

Perché non si svolge così ma in quest'altro modo $ int x ^n \dx\ = (x^(n+1))/(n+1)+c $ ...

[Myriam92]

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Il tuo "uv", non per male, ma mi fa confondere terribilmente
Quel valore che non mi tornava, prima dell'integrale , a secondo membro, ho capito che va integrato invece.
Guarda che carino lo schemino che ho trovato in vari appunti del prof ${ ( f(x)->F(x) ),( g(x)->g'(x) ):}$
La F maiuscola indica il valore da integrare.
E poi ( staremo a vedere se è vero) il secondo fattore funzione è sempre la funzione più complessa (sempre scritto tra gli appunti).

Se l'integrale è l'opposto della derivata, perché questo $ int x ^n \dx\ $ si svolge così $ (x^(n+1))/(x+1)+c $?

Sorry Volevo mettere $n$ al denominatore, non $x$...Però dai, l'esempio che ho riportato corrisponde lo stesso cosa non va ?

[axpgn]

Guarda che carino lo schemino che ho trovato in vari appunti del prof ${ ( f(x)->F(x) ),( g(x)->g'(x) ):}$
La F maiuscola indica il valore da integrare.
E poi ( staremo a vedere se è vero) il secondo fattore funzione è sempre la funzione più complessa (sempre scritto tra gli appunti).

Ma dai ... molto meglio il mio (ovviamente non è mio ma uno schema molto usato) ... $((u,dv),(du,v))\ \ \ ->\ \ \ int u*dv=u*v-int v*du$ ... ... quello del prof è troppo formale ... peraltro la $F$ maiuscola rappresenta la primitiva non la funzione da integrare che è $f$ ... sul fatto che la funzione da derivare sia sempre quella più complessa è più un approccio che un metodo, applicalo con cautela non come una regola ...

Intendi $n=-1$? cioè $int 1/x$ ? Sui tuoi libri/slide/appunti/altro ... non c'è scritto che quella regola ha un'eccezione che è appunto $-1$ ? Non ti viene mente di quale funzione sia la derivata $1/x$ ?

Quel valore che non mi tornava, prima dell'integrale , a secondo membro, ho capito che va integrato invece.

Puoi dirmi esattamente quale? Meglio se riporti tutta l'espressione ... vorrei capire bene ..

[Myriam92]

Il tuo schemino secondo me è invece troppo da "intellettuali" (non adatto ai buoni a nulla come me, insomma ) e poi ha troppe lettere, fa perdere credo troppo tempo materialmente...
Si la F è la primitiva, c'è scritto. La formula per parti è
$intf(x)g(x)=F(x)g(x)-int F(x)g'(x) \dx\ $
Ed è grazie a questa che ho capito che la F in quell esercizio va integrata ( anche se poi ovvio, nella pratica non sarà sempre così )

Intendi n=−1? cioè ∫1x ? Sui tuoi libri/slide/appunti/altro ... non c'è scritto che quella regola ha un'eccezione che è appunto −1 ? Non ti viene mente di quale funzione sia la derivata 1x ?

Qui di che parli? Di questa? $ (x^(n+1))/(n+1)+c $?

io intendevo che se la elevo a $-1$ e la derivo, non dovrei seguire tale.forma.di derivazione ? $ -m/f(x)^2*g'(x) $? Che non dà il risultato di partenza $ int x ^n \dx\ $ ( sto facendo il calcolo a ritroso, spero di essere stata chiara)

[axpgn]

Il tuo schemino secondo me è invece troppo da "intellettuali" (non adatto ai buoni a nulla come me, insomma ) e poi ha troppe lettere, fa perdere credo troppo tempo materialmente...

Guarda che è uno "schemino for dummies" che insegnano alle superiori, il tuo invece è formale e corretto ma se ti trovi bene con quello, ok, perfetto così ... (cmq "ha troppe lettere" è fantastico ... $F(x)$ vs $u$ ... contale ... ... e pure "fa perdere troppo tempo" quando lo scopo è proprio il contrario ... ) ... comunque, ripeto, se ti trovi bene così, non cambiare, vai avanti ... seriously ...

Si la F è la primitiva, c'è scritto.

Mica tanto ... vedi qui, dove dici il contrario ...

La F maiuscola indica il valore da integrare.

mentre qui

Ed è grazie a questa che ho capito che la F in quell esercizio va integrata

vai già meglio ma non è esatto perché non è la $F(x)$ a dover essere integrata ma $F(x)g'(x)$ che è tutt'altra cosa ... attenta alle differenze ...

Qui di che parli? Di questa? $ int x^n\ dx = (x^(n+1))/(n+1)+c $?

Sì, questa non si applica (non si può applicare) quando $x^(-1)=1/x$, in questo caso l'integrale di $1/x$ è $ln|x|$ ...

[Myriam92]

Boh sarà che $f$ e $g$ mi sanno di caratteri più facili da distinguere, ( quindi mentalmente sembravano meno xD ) e anche a scuola ero abituata ad usare questi... Magari anche qui per comodità leviamo (x) che in effetti non serve

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ti sarai accorto che il mio livello di negazione è in valore assoluto mediamente molto più alto rispetto agli standard ... Ma comunque...

Sì con quella F mi son contraddetta 200 volte, speriamo bene xD

Quella domanda di fondo ora l'ho capita.. però guardando un altro es svolto me ne sorge un'altra(peggio di quella xD )
$int(3x+3)/(4x^2-4x+1) \dx\ $
Nel portare $3/4$ fuori il denominatore diviene un quadrato di binomio (a parte sta forzatura che va fatta appositamente ... E non di "routine " come nei limiti a quanto ho capito...) Per quale motivo, prima di effettuare l'identità dei polinomi, nel riscriverlo così: $ (x+1)/(x+1/2)^2= A/(x-1/2)+B/(x+1/2)^2$ quella seconda frazione ha denominatore non elevato al quadrato?

Poi mi sto volendo azzardare con quelli DA SVOLGERE (già vedo danni ovunque)...
$int x sqrt( x^2+1)$
Sbaglio, o nel sostituire otteniamo$ x=+- sqrt (t^2-1)$
Con una doppia soluzione equivale pure un doppio integrale!? Che si fa!?

Mi ero fatta anche il c.e. sperando di poter escludere qualcosa ( solo x qst mi è venuto in mente xD ) ma è stato vano perché si puo includere tutto $RR$... Mannaggia....

Attendo risposte, grazie anticipatamente

[axpgn]

Non c'è niente di routine nel calcolo degli integrali ... ... beh, niente, niente non è vero però come dicono molti "derivare è banale, integrare è un'arte" ... (peraltro vedo che l'autostima si è alzata di molto dato che ormai i limiti son diventati "routine" ... )


Un quoziente di polinomi si può sempre scomporre in una somma di frazioni ("scomposizione in fratti semplici"); si può dimostrare che un polinomio si può sempre scomporre in un prodotto i cui fattori sono polinomi di primo e/o secondo grado; quando avrai scomposto il denominatore in questo modo dovrai scrivere un addendo del tipo $A/(x+p)$ per quelli di primo grado e del tipo $(Bx+C)/(x^2+qx+r)$ per quelli di secondo grado, inoltre se i fattori sono elevati a qualche potenza dovrai scriverne tanti quanti vale l'esponente ... esempio: se un fattore del denominatore è $(x+3)^3$ nella scomposizione in fratti semplici dovrai avere tre addendi in questo formato $A/(x+3)+B/(x+3)^2+C/(x+3)^3$; analogamente per quelli di secondo grado ... esempio: se un fattore è $(x^2-2x+5)^2$ allora avrai $(Ax+B)/(x^2-2x+5)+(Cx+D)/(x^2-2x+5)^2$

$ int x sqrt( x^2+1) $
Sbaglio, o nel sostituire otteniamo$ x=+- sqrt (t^2-1) $

Qual è la sostituzione che hai fatto?

[Myriam92]

Autostima? Si mangia?. .intendevo abbastanza routinario nei limiti portar fuori la $x$, nient'altro..Per il resto la tua citazione é molto incoraggiante, data la mia.indecenza anche nel risolvere le derivate

Ah, cmq resto del parere che se il delta vale.zero, avendo una doppia soluzione uguale e coincidente... Tutti quei denominatori debbano essere elevati al quadrato... Dissuadimi più che puoi.. ti prego xD

Sostituzione:
$sqrt(x^2+1)=t$
Elevo ambo i membri al quadrato..E poi? Non è che posso derivare direttamente x^2:(

[axpgn]

$ int x sqrt( x^2+1)\ \ dx $

Poniamo $t=sqrt(x^2+1)$ ...

Deriviamo $dt=(2x)/(2sqrt(x^2+1))\ \ dx$ ...

un po' di fantasia ... $dt=(x)/(sqrt(x^2+1))\ \ dx\ ->\ sqrt(x^2+1)\ \ dt=x\ \ dx$ ...

e ricordandoci che $t=sqrt(x^2+1)$ otteniamo $t\ \ dt=x\ \ dx$ ...

Adesso sostituiamo opportunamente nell'integrale $int sqrt( x^2+1) * x\ \ dx=int t*t\ \ dt= int t^2\ \ dt $ ...

Ah, cmq resto del parere che se il delta vale.zero, avendo una doppia soluzione uguale e coincidente... Tutti quei denominatori debbano essere elevati al quadrato...

A cosa ti riferisci?

Cordialmente, Alex