equazione trigonometrica

[patel]

come si risolve la sequente equazione ?
x/tan(x) = k

[feddy]

Al momento non mi viene in mente alcun metodo esplicito semplice, forse il metodo migliore è quello "grafico".

Consiste nel vedere come sono le intersezioni della retta $y=k$, con $k$ che varia in $RR$, con la funzione da te scritta. Per cui studiati la tua $x/tan(x)$ e conta le intersezioni.

Altrimenti ci sarebbero opportuni metodi numerici, ma vista la sezione presumo che tu non li conosca.

[feddy]

Facendo uno studio un po' più dettagliato dell'equazione.

Studiandola in $[-pi,pi]$

Sia $f(x)=x/tan(x)$, definita su $D={x in RR: x!=0,+-pi, k in mathbb(Z)}$.

Facciamone uno studio rapido: tale $f$ è pari (simmetrica rispetto all'asse delle $y$), e interseca l'asse della ascisse in $x=+- pi/2$.
L'intersezione con l'asse delle ordinate si ha, facendo il limite per $x->0$, nel punto $(0,1)$.
La derivata è $f'(x)=cot(x) -x*(csc(x))^2$ e pertanto si ha un massimo in $(0,1)$.
Facendo la derivata seconda si vede che la funzione è concava: pertanto la situazione è così

E' chiaro che per $k<1$ non si hanno intersezioni con la funzione, pertanto non ci sono soluzioni.
Per $k>= 1$ invece ci sono $2$ soluzioni.

[patel]

grazie Feddy per l'ottimo studio, sono pratico di excel quindi non ho problemi a individuare la soluzione con metodi numerici, volevo sapere se l'equazione fosse risolvibile con i metodi classici imparati al liceo scientifico 55 anni fa e che ora non ricordo più.

[feddy]

Di nulla @patel. Credevo fossi uno studente delle superiori, per questo credevo anche ci fosse un metodo esplicito.

A sto punto allora mi sento di dirti che la strada numerica è la migliore Ciao