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Salve a tutti! Non mi è chiara la risoluzione del seguente Integrale:
$\int dx/(5 + 4x^2)$
Il risultato dovrebbe essere $\frac{sqrt{5}} {10}*arc tg\frac {2sqrt{5}} {5}x + C$
Ciò che mi sfugge è l'esatta scomposizione del polinomio al denominatore!
Grazie in anticipo!

Non si scompone, è irriducibile ...

axpgn ha scritto:Non si scompone, è irriducibile ...

Esattamente, mi sono espresso male! Io l'ho riscritto in questo modo:
$\ 5(1+4/5x^2)$
ma comunque non riesco a venirne a capo, Help!

Qual è la derivata dell'arcotangente? Meglio ancora: qual è la derivata di $arctan(f(x))$ ?

axpgn ha scritto:Qual è la derivata dell'arcotangente? Meglio ancora: qual è la derivata di $arctan(f(x))$ ?

$\ (f'(x))/(1 + (f(x))^2)$

Ho afferrato il nocciolo del tuo ragionamento, ma non mi sono perfettamente chiari quei pochi passaggi che occorrono per raggiungere la soluzione! Perdonami ma, premesso che frequento il Liceo Classico e che non ho proprio una fervente passione per la materia in oggetto , abbiamo iniziato ad affrontare l'argomento da poco e sarei entusiasta se mi spiegassi i passaggi per giungere alla soluzione finale.
Grazie!!!

L'obiettivo è quello di "manipolare" l'espressione iniziale $1/(5+4x^2)$ in modo da ottenerne una nella forma $(f'(x))/(1+(f(x))^2)$

Iniziamo con il "generare" l'$1$ al denominatore: $1/(5(1+4/5x^2))$ .., poi possiamo "portar fuori" dall'integrale la costante $1/5$ per semplificarci la vita (non è detto che questa sia la strada migliore, talvolta è meglio lasciarlo dov'è) ... adesso dobbiamo trovare la $f(x)$ da elevare al quadrato; c'è l'abbiamo già $4/5x^2=(2/sqrt(5)x)^2=(f(x))^2$.

Riscriviamolo ... $1/5 int 1/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx$

Adesso ci serve $f'(x)$ che è $2/sqrt(5)$

Se adesso moltiplichiamo "sopra" e "sotto" per la nostra $f'(x))$ otteniamo $1/5 int (2/sqrt(5))/(2/sqrt(5)(1+(2/sqrt(5)x)^2))\ \ dx$ che è uguale a $1/5 int sqrt(5)/2*(2/sqrt(5))/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx=sqrt(5)/10 int (2/sqrt(5))/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx$

A 'sto punto l'integrale è immediato e il risultato finale è $sqrt(5)/10*arctan(2/sqrt(5)x)$

Ok?

axpgn ha scritto:L'obiettivo è quello di "manipolare" l'espressione iniziale $1/(5+4x^2)$ in modo da ottenerne una nella forma $(f'(x))/(1+(f(x))^2)$

Iniziamo con il "generare" l'$1$ al denominatore: $1/(5(1+4/5x^2))$ .., poi possiamo "portar fuori" dall'integrale la costante $1/5$ per semplificarci la vita (non è detto che questa sia la strada migliore, talvolta è meglio lasciarlo dov'è) ... adesso dobbiamo trovare la $f(x)$ da elevare al quadrato; c'è l'abbiamo già $4/5x^2=(2/sqrt(5)x)^2=(f(x))^2$.

Riscriviamolo ... $1/5 int 1/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx$

Adesso ci serve $f'(x)$ che è $2/sqrt(5)$

Se adesso moltiplichiamo "sopra" e "sotto" per la nostra $f'(x))$ otteniamo $1/5 int (2/sqrt(5))/(2/sqrt(5)(1+(2/sqrt(5)x)^2))\ \ dx$ che è uguale a $1/5 int sqrt(5)/2*(2/sqrt(5))/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx=sqrt(5)/10 int (2/sqrt(5))/(1+(2/sqrt(5)x)^2)\ \ dx$

A 'sto punto l'integrale è immediato e il risultato finale è $sqrt(5)/10*arctan(2/sqrt(5)x)$

Ok?

Buongiorno, grazie per la spiegazione!
Avrei ancora bisogno di un consulto però!...
Alla luce di quanto mi hai gentilmente mostrato/spiegato, per l'esercizio precedente, ho svolto questo nuovo integrale:

$\ int dx/(x^2+x+3)$

nel modo seguente:
$\ int dx/(x^2+x+3) = int dx/((x+1/2)^2 + 11/4) = 4/11 int dx/(1 + ((2x+1)/sqrt(11))^2) = 4/11 int 11/(2sqrt(11)) (2sqrt(11)/11)/(1+((2x+1)/sqrt(11))^2) dx = 2/sqrt(11) int (2sqrt(11)/11)/(1+((2x+1)/sqrt(11))^2) dx = 2/sqrt(11) arc tg ((2x+1)/sqrt(11)) + C$

Il risultato finale riportato sul mio libro di testo è

$2sqrt(11)/11 arc tg ((2x+1)/sqrt(11)) + C$

Dunque la prima parte della mia soluzione è errata! Ho commesso errori nel procedimento?
Grazie ancora!

Sono la stessa cosa ... il libro ha razionalizzato il denominatore, come da consuetudine ...

axpgn ha scritto:Sono la stessa cosa ... il libro ha razionalizzato il denominatore, come da consuetudine ...

Ottimo! In ogni caso, credo mi rifarò vivo presto!!
Grazie e Buona serata!!

È una minaccia?