Relazioni binarie:
Tutto inizia da un insieme, chiamiamolo $A$ ... formiamo $A xx A$, l'insieme delle coppie ordinate $(x,y)$ dove $x in A$ e $y in A$.
Una relazione binaria $R$ su $A$ è un (qualunque) sottoinsieme di $A xx A$ perciò anche $R$ è un insieme e i suoi elementi sono coppie ordinate appartenenti a $A xx A$.
Ora, la relazione binaria $R$, essendo un insieme, possiamo definirla così come facciamo con gli insiemi:
- elencando gli elementi (tutti)
- facendo una lista (non esaustiva) da cui però si capisca quali siano gli elementi dell'insieme (tipo $1,2,3 ...$)
- definendo una (o più) caratteristica (o condizione) che le nostre coppie devono rispettare
Nel nostro caso l'insieme di sostegno della relazione è $NN$ (zero compreso, anche se per me non ci dovrebbe essere ..
) per cui l'insieme che contiene la nostra relazione $S$ è $NN xx NN$ ovvero l'elenco di tutte le coppie ordinate di numeri naturali.
Non tutte queste coppie però appartengono alla nostra relazione $S$ ma solo quelle che godono di una certa proprietà cioè tutte le coppie $(m,n)$ tali per cui il numero $k=(m-n)/2$ sia anch'esso naturale cioè sia $k in NN$.
Possiamo notare che quella condizione equivale a dire che $m>=n$ (altrimenti $k$ sarebbe negativo) e che i nunmeri $m$ ed $n$ devono avere la stessa "parità" (cioè devono essere entrambi paro od entrambi dispari, in caso contrario non avremmo un numero intero).
Ne consegue che la coppia $5,3$ appartiene alla relazione ma la coppia $3,5$ NON vi appartiene. Chiaro questo punto? Ricordiamoci che parliamo di coppie ordinate ...
Tra le proprietà che le relazioni binarie possono avere c'è quella detta "simmetrica"; affinchè una relazione possa godere di tale proprietà deve verificarsi questo fenomeno: se una coppia $(a,b)$ (qualsiasi) appartiene alla relazione allora anche la coppia $(b,a)$ DEVE appartenere alla relazione; se questo non succede (anche per una sola coppia) la relazione binaria NON gode della proprietà simmetrica.
Nel caso della nostra relazione $S$ l'esempio sopra riportato ci mostra porprio questo: la coppia $(5,3)$ appartiene alla relazione ma la coppia $(3,5)$ non vi appartiene, ergo la nostra relazione $S$ NON è simmetrica.
Se la condizione fosse invece $(x+y)/2$ allora la relazione sarebbe di equivalenza e dividerebbe i numeri naturali in due classi: pari e dispari (che significa che ogni numero pari è equivalente ad ogni altro numero pari e ogni dispari equivalente ad ogni dispari).
Se vuoi provare prendi due numeri pari qualasiasi e vedrai che tramite la proprietà transitiva "salti" da un pari all'altro ma MAI ad un dispari (e viceversa).
Cordialmente, Alex
" verrebbe a dirmi: 
