Calcolo di Limiti - Teorema di De L'Hopital

Messaggioda Lorenzy » 22/03/2017, 00:29

Salve a tutti,
ho difficoltà nel calcolare i seguenti limiti:

1. $lim_(x -> 0^+) (log sinx/(log tgx)) = 1$

2. $lim_(x -> 0^+) (log_x (e^x - 1)) = 1$

3. $lim_(x -> 1) ((1/logx) - (1/(x-1))) = 1/2$

Di seguito riporto i tentativi di risoluzione per ogni esercizio:

1. $lim_(x -> 0^+) (log sinx/(log tgx)) = lim_(x -> 0^+) ((1/sinx *cosx)/(1/(tgx) * 1/cos^2 x)) = ...$

2. $lim_(x -> 0^+) (log_x (e^x - 1)) = lim_ (x -> 0^+) (e^x/((e^x - 1) logx)) = ...$

3. $lim_(x -> 1) ((1/logx) - (1/(x-1))) = lim_(x -> 1) ((1/x)/log^2 x - (1/(x-1)^2)) = ...$

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Re: Calcolo di Limiti - Teorema di De L'Hopital

Messaggioda axpgn » 22/03/2017, 00:40

Devi per forza usare De L' Hopital ? Perché per esempio nel secondo e nel terzo non ci sono le condizioni (così come sono scritte ...) ... ed anche nel primo non vale la pena usarlo ...
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Re: Calcolo di Limiti - Teorema di De L'Hopital

Messaggioda axpgn » 22/03/2017, 00:46

Comunque per il primo sei arrivato ... ricorda che $cot(x)=1/tan(x)=cos(x)/sin(x)$ ...

Nel secondo forse volevi scrivere $log(x)*(e^x-1)$ ... È una forma tipo $0*infty$ perciò non puoi applicare De L' Hopital ma se la scrivi così $(e^x-1)/(1/log(x))$ allora sì ...

Per il terzo per applicare quel teorema devi sommare le frazioni per ridurti ad una forma indeterminata tipo $0/0$ ...
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Re: Calcolo di Limiti - Teorema di De L'Hopital

Messaggioda orsoulx » 22/03/2017, 11:10

Per il secondo puoi portare il logaritmo nella base $e$ (cambiamento di base) e poi applicare DlH; riducendo la frazione a due soli livelli ottieni $ (x e^x)/(e^x-1) $ di cui puoi calcolare il limite osservando che compare un limite fondamentale o, volendo, applicare ancora una volta DlH.
Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.
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Re: Calcolo di Limiti - Teorema di De L'Hopital

Messaggioda 21zuclo » 23/03/2017, 19:44

Riguardo al primo limite.. si può risolvere facilmente senza Hopital..

$ \lim_(x\to 0) (\ln (\sin x))/(\ln (tan x)) $

allora sappiamo che $ \tan(x)=(\sin x)/(\cos x) $

quindi, il denominatore possiamo riscriverlo così $ \ln((\sin x)/(\cos x)) $

ora ricordando una proprietà dei logaritmi, possiamo scrivere $ \ln((\sin x)/(\cos x))=\ln(\sin x)-\ln(\cos x) $

quindi il tutto si ha $ \lim_(x\to 0) (\ln (\sin x))/(\ln (tan x)) =\lim_(x\to 0) (\ln(\sin x))/(\ln(\sin x)-\ln(\cos x)) $

ora se ci fai caso .. $ \cos(0)=1 \to \ln(\cos(0))=\ln(1)=0 $

quindi ti rimane
$ \lim_(x\to 0) (\ln(\sin x))/(\ln (\sin x))=1 $

spero di essere stato chiaro..
"Se la matematica è la regina delle scienze, allora l'algebra è il gioiello della sua corona"
(cit.)

$\sum_1^(+\infty) (1)/(n^2)=\pi^2/6$

$\sum_(n=1)^(+\infty) (1)/((2n+1)^4)=(\pi^4)/(96)$
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