Salve.
Avrei il seguente dubbio:
Nei problemi di massimo e di minimo capita spesso di dover trovare il punto di una parabola che dista meno da un altro dato, che non le appartiene.
Ora, il normale procedimento per risolvere tale procedimento è abbastanza lungo. Proprio per questo ho trovato un altro procedimento, efficace ma, sembrerebbe, poco rigoroso. Vorrei avere la conferma che questo sistema è, tuttavia, corretto e la risposta ad alcune domande. Voglio portare due esempi:
I) Ho la parabola y= 0,25 x^2+1,5 x+2 ed un punto Q(3;8); voglio trovare i punti della parabola che meno distano dal punto Q.
(Noto che il punto Q ha ascissa pari all'ascissa del vertica della parabola data)
Calcolo la derivata prima della funzione y, y'=0,5x-1,5
Essendo y' il coefficiente angolare di tutte le tangenti alla parabola, e sapendo che "il segmento perpendicolare condotto da un punto ad una retta è minore di ogni segmento obliquo condotto dallo stesso punto alla stessa retta" allora calcolo il coefficiente angolare di una generica retta perpendicolare alla rispettiva tangente della parabola come m_⊥=-1/y'=-1/(0,5x-1,5)=(-2)/(x-3), conscio e consapevole, così facendo, di aver eliminato il segmento QV (V(3;-0,25) vertice della parabola) dall'insieme di segmenti che sto compulsando per trovare quello con la minima distanza da Q.
Trovo, a questo punto, la retta perpendicolare di pendenza m_⊥ passante per Q, dopo aver trovato l'equazione del fascio proprio con centro in Q:
y-8=m(x-3)⟶y-8= ((-2)/(x-3))∙(x-3)⟶y=6
Questa, come ho verificato anche all'elaboratore, non è la retta che cercavo ma è comunque un risultato propedeutico all'obiettivo finale dell'esercizio, cioè trovare i punti della parabola meno distanti da Q. Mettendo a sistema la retta ottenuta nell'ultimo passaggio, qualunque essa sia, e y= 0,25 x^2+1,5 x+2, infatti, ottengo proprio le ascisse di tali punti, cioè A(-2;6) e B(8;6) (per controllare l'accettabilità delle soluzioni è stata calcolata la distanza AQ=BQ e la distanza QV, confrontarle e verificare che QV>AQ, per cui A e Q sono soluzioni a tuti gli effetti). Questo ragionamento ha un fondamento teorico valido?
Questo è un caso particolare, dove il punto di riferimento esterno alla parabola ha la medesima ascissa del vertice della stessa.
Un altro caso è il seguente: si vuole individuare il punto P appartenente alla parabola y=-x^2 per il quale è minima la distanza dalla retta y=x+3.
Anche qui, ragionando analogamente al primo esempio, trovo la derivata prima della funzione della parabola, y'=-2x, lo eguaglio al coefficiente angolare della retta y=x+3, che è 1, e ottengo x=-0,5, che è proprio il punto che cercavo, P(-0,5;-0,25).
Spero qualcuno possa darmi una spiegazione del perché questo metodo è efficace.