Studio di funzioni: minimo massimo e flessi

Messaggioda Forconi » 23/04/2017, 15:06

Mi potreste aiutare con queste due funzioni non riesco ad ottenere il risultato previsto dal testo.
1 - $Y= x^4 – 2x^2$
Dominio è tutto R; Intersezione con gli assi (-radice 2;0) e (0;0) e (radice 2;0); la funzione è pari
Per trovare i punti stazionari calcolo f’(x) che è f’(x) = $4x^3 – 4x$
Non ci sono punti scartati dal dominio di f’(x) quindi ne studio subito il segno. Nello studio del segno ottengo :
x>=0
$4x^2 – 4 $ >=0
Quindi i punti sarebbero massimo relativo (-1;3) e (1;-1); minimo relativo (0; 0).
Invece il testo riporta questi risultati: max (0;0); minimi (-1;-1) e (1;-1)
2 - $y=1/(x^2+1)$
Dominio è tutto R; Intersezione con gli assi (0;1); la funzione è pari; Asintoto orizzontale y=0; dovrei trovare il flesso quindi calcolo f’’(x)
F’’(x) $[(x-1)^2 (-2)]/(x^2+1)^3$
Ora se non ho commesso errori prima, non riesco a fare lo studio del segno di f’’(x) al fine di trovare il flesso. Risultato del testo: flessi (+-(radice 3)/3; ¾)
Grazie per l'aiuto che mi potrete dare.
Martina
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Re: Studio di funzioni: minimo massimo e flessi

Messaggioda SirDanielFortesque » 23/04/2017, 16:06

Per risolverlo posso passare per il metodo delle derivate successive:
f(x)=x^4-2x^2
f'(x)=4x^3-4x
f''(x)=12x^2-4
f'''(x)=24x

f'(x)=0 for x=0vx=-1vx=1
f''(0)<0 allora per x=0 abbiamo un massimo.
f''(-1)>0 allora per x=-1 abbiamo un minimo.
f''(1)>0 allora per x=1 abbiamo un minimo.
f''(x)=0 for x=3^(-0,5) v x=-(3^(-0,5))
f'(3^(-0,5))≠0 ed f'''(3^(-0,5))>0 allora abbiamo per x=3^(-0,5) un flesso obliquo ascendente.
f'(-(3^(-0,5)))≠0 ed f'''(-(3^(-0,5)))<0 allora abbiamo per x=-(3^(-0,5)) un flesso obliquo discendente.
Quindi i punti notevoli ai fini dello studio di questa funzione sono:
(0;0), che è un massimo.
(1;-1) che è un minimo.
(-1;-1) che è un minimo.
(-(3^(-0,5));-5/9) che è un flesso obliquo discendente.
(3^(-0,5);5/9) che è un flesso obliquo ascendente.
Volendo si può ancora notare che la funzione è pari, cioè che f(x)=f(-x).
Un metodo alternativo per la soluzione di questo esercizio è quello di studiare il segno della derivata prima e della derivata seconda, ma è più lungo. Questo è più "meccanico" e più rapido in questo caso.
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Re: Studio di funzioni: minimo massimo e flessi

Messaggioda Forconi » 23/04/2017, 16:24

1- siccome riesco ad individuare minimo, massimo e flesso solo tramite lo studio del segno della f'(x) e della f''(x) vuol dire che ho sbagliato lo studio del segno, visto che nel metodo da voi proposto si ottengono i risultati del testo. Mi potreste indicare gli errori dello studio del segno commessi, non riesco ad individuarli. Grazie, Martina.
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Re: Studio di funzioni: minimo massimo e flessi

Messaggioda SirDanielFortesque » 24/04/2017, 11:15

Si, certamente, credo che il suo errore sia il seguente, da quanto apprendo dal procedimento di cui sopra:
Essendo la derivata prima
f'(x)=4x^3-4x
Nel risolvere la disequazione
4x^3-4x≥0
non posso semplificare la x, in quanto non ne conosco il segno e potrebbe essere nulla. Se fosse negativa dovrei cambiare il verso della disuguaglianza, se fosse nulla non potrei semplicemente dividere, in quanto contravverrei ai principî di equivalenza. Una nota aggiuntiva è il fatto che il punto (-1;3) non appartiene alla funzione. Forse si tratta un errore di calcolo (Noti che il segno davanti al termine -2x^2 è, per l'appunto, meno e che qualsiasi numero non nullo elevato al quadrato "diventa" positivo)
Ho dimenticato di riportare il secondo studio di funzione, che ora le propongo:
essendo g(x)=(x^2+1)^(-1) allora
g'(x)=(-2x)/(x^2+1)^2 quindi x=0 è un primo punto critico (di massimo, essendo g''(0)<0)
g''(x)=(6x^2-2)/((x^2+1)^3), dopo alcuni calcoli.
Qui è meglio studiare il segno. Il denominatore è una somma di quadrati elevata al cubo. Essendo tale è sempre positiva, pertanto è sufficiente studiare il segno del numeratore, risolvendo 6x^2-2≥0. Si ottiene x≤-(3^(-0.5)) v x≥(3^(-0.5))
Con opportune osservazioni da quanto emerge dallo studio del segno e dal calcolo della derivata prima per x= ±(3^(-0.5))
è chiaro che abbiamo:
Un massimo in (0;1)
Un flesso obliquo discendente in (-(3^(-0.5));(3/4))
Un flesso obliquo ascendente in ((3^(-0.5));(3/4)).
Cordiali Saluti.
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