Massimi e minimi di funzione

[Forconi]

Mi potreste aiutare con questa funzione ho problemi nella determinazione dei punti di massimo e minimo:
1) $y= (x^2)/\(|x-1|)$
Dominio è tutto R tranne 1
Siccome c’è il valore assoluto, le funzioni sono: per x<=1 è $y=(x^2)/(-x+1)$ e per x>1 è $y= (x^2)/(x-1)$.
Per trovare i minimi e massimi devo studiare il segno della f’(x).
Per x<=1 $f’(x)= (3x^2+2x)/ [(-x+1)^2]$ mentre per x>1 $f’(x) = (x^2+2x)/[(x-1)^2]$
Studiando il segno di f’(x) nell’intervallo per x<=1:
N: $3x^2+2x >=0 $ VE compresi [-2/3; 0]
D: $(-x+1)^2>0$ sempre positiva tranne 1
C’è un punto di massimo a x=-2/3 e un punto di minimo a x=0
Studiando il segno di f’(x) nell’intervallo per x >1, ottengo un punto di minimo a x=2.
La soluzione del testo è: punto di massimo (0;0) e punto di minimo (2;4).
Non riesco a capire l’errore che ho commesso.
Grazie per l'aiuto che mi potrete dare.
Martina

[teorema55]

Ritengo che i punti

$m_1(0,0)$
e
$m_2(2,4)$

siano entrambi punti di minimo, visto che la funzione, come dici, è

$f_1(x)=(x^2)/(x-1)$ per x>1
e
$f_1(x)=(x^2)/(1-x)$ per x<1

Il punto di ascissa $ -2/3 $ non ha alcun significato particolare, controlla i calcoli.

Intanto ci do un'occhiata anch'io............

[Forconi]

Purtroppo ho ricontrollato sia la f'(x) che lo studio del segno, ma non trovo l'errore.
La soluzione del testo è: punto di massimo (0;0) e punto di minimo (2;4).

[teorema55]

Appena a casa ti mando una immagine del grafico, dal lavoro non posso.

Quel che dice il libro non sempre è corretto...........

[teorema55]

Per prima cosa, hai toppato il calcolo di f'(x) nel caso x<1.............

[mgrau]

E anche per $x > 1$....
la derivata di $y= (x^2)/(x-1)$ è $ (x^2-2x)/[(x-1)^2]$, col meno.

E poi:
le due funzioni $y=(x^2)/(-x+1)$ e $y= (x^2)/(x-1)$ sono uguali, salvo il segno.
Allora, come mai le loro derivate non sono uguali, col segno opposto?

[teorema55]

Le due funzioni sono di segno opposto. Anche le derivate sono uguali ma di segno opposto. Infatti (dopo calcoli)

$f_1'(x)=(x(x-2))/(x-1)^2$

e

$f_2'(x)=(x(2-x))/(x-1)^2$

Entrambe si annullano per

$x=0$

e

$x=2$

Visto che i calcoli non devono essere il tuo forte, le derivate seconde sono rispettivamente

$f_1''(x)=2/(x^3-3x^2+3x-1)$

e

$f_1''(x)=-2/(x^3-3x^2+3x-1)$

che sono entrambe sempre positive (prova sia la prima sia la seconda, rispettivamente con un x>1 e con un x<1, ovviamente).

Quindi i due punti sono entrambi dei minimi.

[Forconi]

Ho sbagliato i calcoli della f'(x). Ora però ottengo due punti di minimo in x=0 e in x=2.
Probabilmente è errato il grafico che mi viene proposto come soluzione.

[teorema55]

Quel che dici è corretto. Più tardi ti mando il mio grafico.

[teorema55]

Eccolo: