da teorema55 » 06/06/2017, 07:55
Generazioni di matematici hanno provato a dimostrare il postulato delle parallele partendo dagli altri assiomi e postulati, proprio per evitare la ridondanza. Non ci sono riusciti, semplicemente perché ciò non è possibile.
Concordo sul fatto che "indecidibile" sia un termine un po' fuorviante.
Ammettendo il V postulato siamo nel campo della geometria euclidea, o geometria del piano che, rappresentando di fatto la realtà macroscopica che osserviamo, è stato il primo dei postulati sulle parallele, accettato "per fede" da chiunque.
Solo molto più tardi, a partire dal 19° secolo, in particolare da una pubblicazione di Gauss del 1828, Riemann nel 1854 negò il quinto postulato, affermando che non esistono rette parallele o, per usare le sue parole, che "due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune". Inoltre, già nel 1826 un matematico russo, N. Lobacevskij, ed uno ungherese, J. Bolyai, avevano negato il V postulato sostenendo che, per un punto, passano almeno due parallele ad una retta data.
Queste idee (come, secoli prima, nel tardo XVII, Newton e Leibniz giunsero alla teoria del calcolo infinitesimale) comparvero quasi contemporaneamente senza che i loro autori avessero avuto alcun contatto o scambio di opinioni. Come in primavera i fiori sbocciano tutti insieme senza averlo concordato preventivamente.
Questi due diversi, opposti punti di vista, lungi dall'essere pure speculazioni filosofiche, diedero luogo a due tipi di geometria non euclidea che trovarono importanti applicazioni in vari campi della scienza. In particolare la geometria "ellittica" di Riemann è alla base, per esempio, dello studio della cartografia della superficie terrestre. La geometria "iperbolica" di Lobacevskij trova applicazione in vari settori della fisica, come la teoria della relatività di Einstein e lo studio del comportamento delle particelle sub-microscopiche.
In sintesi ognuna di queste geometrie non è né vera né falsa. Sono diverse. Ciascuna si basa sull'affermazione o sulla negazione (come abbiamo visto in due modi opposti) del V postulato. Ciascuna ha il medesimo diritto di cittadinanza nel meraviglioso mondo della matematica.
Le persone credono di essere libere, ma sono soltanto libere di crederlo.
Jim Morrison