Il V postulato di Euclide è indecidibile?

[Leo15]

Capito, quindi le geometrie euclidee sono nate dal (vano) tentativo di dimostrare il quinto postulato poiché si credeva che potesse essere derivato dai primi 4 giusto?

[@melia]

Capito, quindi le geometrie euclidee sono nate dal (vano) tentativo di dimostrare il quinto postulato poiché si credeva che potesse essere derivato dai primi 4 giusto?

Ti sei dimenticato un "non"
Quelle NON euclidee sono nate dal vano tentativo ...

[axpgn]

@Leo15
Non direi ... sono nate perché si è ritenuto (alcuni hanno ritenuto) che si potessero avere geometrie interessanti e utili NON usando quel postulato ma altri ... in pratica hanno cambiato una regola del gioco per crearne un altro (di gioco) ... come il rugby dal calcio ...

[otta96]

Secondo me non c'è niente di male nell'usare il termine indecidibile dato che è un termine tecnico della logica matematica, potrei essere d'accordo nello sconsigliarne l'utilizzo a chi non ne conosce la definizione.
Io sapevo che Gauss aveva cominciato a sviluppare le geometrie non euclidee perché aveva avuto a che fare con problemi di geodesia, infatti era stato incaricato di fare una mappatura del territorio il più fedele possibile, questo gli ha fatto pensare: "uh che bello, potrei farci un'intera teoria matematica sopra! Tanto oggi pomeriggio non avevo niente da fare"

[mgrau]

Da profano, non userei questo termine.
Penso che "indecidibile" si possa usare per una affermazione per la quale non c'è modo di sapere se si può oppure no derivare dagli assiomi.
Ma per il postulato delle parallele la questione non è la derivabilità dai quattro postulati precedenti (e qui sappiamo che non si può), ma è la sua aderenza alla realtà fisica, quindi non è questione teorica ma sperimentale (e qui pure sappiamo che non aderisce, visto che la luce non va diritta nel senso euclideo)

[teorema55]

Infatti, come giá detto, non è indecidibile, anzi direi che lo é eccome: é uno dei diversi modi, altrettanto validi, di descrivere la realtà.

[Indrjo Dedej]

i postulati si prendono per buoni così come si prendono per buone le regole di un gioco: se ti sta bene, le accetti e giochi; se non ti sta bene, ti fai le tue regole e ti inventi il tuo gioco ...

Hilbert, eh?

Comunque tutto quel "putiferio" è uno dei più importanti eventi della matematica. I dettagli storici te li hanno raccontati a grandi linee.

Il termine "indecidibile" fa parte della logica matematica, in particolare riguarda gli assiomi. Cos'è un assioma? la risposta che danno alle superiori è delle tipo "un assioma è una proposizione che esprime qualcosa di evidente, intuitivo". Sì ma anche alcuni teoremi esprimono qualcosa di intuitivo. Questa sorta di definizione è un po' ambigua secondo me.

...i matematici sono persone a cui non piace essere ridondanti, si preoccupano che tutti gli assiomi di una teoria assiomatica siano indipendenti dagli altri.

La questione è complessa. Te la spiego in parole spicce...
Dal punto di vista logico una proposizione $mathcal{P}$ è decidibile quando è vero o $mathcal{P}$ o $neg mathcal{P}$ ($neg$ indica la negazione), indecidibile in caso contrario. C'è di più: nell'eveninza che $mathcal{P}$ sia indecidibile, che io assumo vero $mathcal{P}$ o $neg mathcal{P}$ non ho situazioni incoerenza, ovvero potrei creare benissimo una matematica nuova senza che questa si contraddica da sola a un certo punto (guardati l' antinomia di Russell per curiosità).

[teorema55]

Sì, ma anche il teorema di Godel ha qualcosa da dire................

[Indrjo Dedej]

Sì, ovvio. Ma ci sono situazioni come quella dell'ipotesi del continuo. Cohen ha provato che assumere vero o meno questa ipotesi non crea incoerenze.

[teorema55]

...i matematici sono persone a cui non piace essere ridondanti, si preoccupano che tutti gli assiomi di una teoria assiomatica siano indipendenti dagli altri.

Vero, ma non è un mero pallino. Di fatto un sistema è tanto più forte quanto minore è il numero dei postulati su cui si fonda. Ecco il punto di partenza per cercare la dimostrazione del V postulato a partire dai primi quattro, ricerca fallita che ha dato il via all'idea di negarlo e alla scoperta di almeno due geometrie "non euclidee" altrettanto degne di cittadinanza nel mondo matematico.