Matematicamente.it

Se si contesta il principio che un postulato sia indimostrabile, allora ha ragione il prof ha dire che è indecidibile. Bisogna intendersi su che cosa significa indecidibile, ovvero qualcosa di cui non solo non si può dire che è vera (perchè nessuno sinora è riuscita a dimostrarla) ma neanche che sia falsa. Infatti se si fosse dimostrata la falsità del V postulato di Euclide, semplicemente la geometria piana sarebbe stata rimpiazzata da quella ellittica o da quella iperbolica, che invece convivono tra loro e con quella classica euclidea.

Mi viene da chiedermi: ma perchè questo accanimento proprio sul quinto postulato? Com'è che nessuno si chiede se il primo postulato - per due punti passa una e una sola retta - sia o no indecidibile, indimostrabile, o quel che si vuole?

Storicamente il problema nasce dai tentativi, che molti geometri hanno fatto, di dimostrare il quinto postulato utilizzando quelli precedenti. Sembrava che fosse possibile, molti hanno provato e hanno creduto di essere vicini a tale dimostrazione fino a che qualcuno si è reso conto che accettando gli altri postulati si poteva negare il quinto senza problemi e da questa nuova posizione sono nate le geometrie ellittica e iperbolica.

Grazie Melia, però mi riferivo all'insistenza sul quinto qui nel forum; non sui tentativi storici di farne a meno.
Perchè mi pare che la questione della indecidibilità, messa in questo modo, si può applicare altrettanto bene a qualsiasi assioma (e, francamente, mi sembra una questione di lana caprina)

Proprio per questo in uno dei miei primi interventi avevo specificato che la parola "indecidibilità" non è adatta se riferita ad un assioma.

mgrau ha scritto:Mi viene da chiedermi: ma perchè questo accanimento proprio sul quinto postulato? Com'è che nessuno si chiede se il primo postulato - per due punti passa una e una sola retta - sia o no indecidibile, indimostrabile, o quel che si vuole?

Butto un sassolino nello stagno.

Il tuo intervento mi fa pensare che la geometria ellittica di Riemann giunga a negare, ad esempio, proprio il primo postulato.........dato che per due punti (in particolare per i due poli di una superficie sferica) passano infinite rette (i meridiani).

Se non accettiamo la negazione del primo postulato, questa non sarebbe una dimostrazione del V, per assurdo?

Premetto che io penso di no................